Integrais duplos e de linha

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2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 43 Exercise 7 Verifique que −→ F (x, y) =(y +2x exp y) −→ e1 + ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ −→ e2 é um campo conservativo ou gradiente (ou com potencial) e determine a respectiva função potencial associada. Calcule ainda o valor do trabalho do campo de vectores −→ F no deslo- camento de uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 4) da parábola de equação y = x 2 . Trata-se de verificarseexisteumafunçãof(x, y) tal que ∂f ∂f dx + dx dy dy =(y +2xexp y) dx + ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ dy. Para que tal aconteça, a função terá de verificar o teorema de Schwarz, ou seja, terá de se verificar ∂ (y +2x exp y) ∂y = ∂ ¡ x − 2y + x2 exp y ¢ . ∂x De facto ambas as derivadas têm por expressão 1+2x exp y. Podemos assim concluir que o campo de vectores −→ F é um campo conservativo. Quanto à determinação da função potencial f atenda-seaqueelaverifica as igualdades Como tal, Z f(x, y) = ∂f dx = y +2xexp y ∂f dy = x − 2y + x2 exp y. (y +2x exp y) dx = yx + x 2 exp y + C(y). Dada a igualdade ∂f dy = x − 2y + x2 exp y, sabemos ainda que ∂ ¡ yx + x2 exp y + C(y) ¢ dy = x − 2y + x 2 exp y Podemos então concluir que ⇔ x + x 2 exp y + C 0 (y) =x − 2y + x 2 exp y ⇒ C 0 (y) =2y ⇒ C(y) =y 2 + C f(x, y) =yx + x 2 exp y + y 2 .
44 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA O trabalho pedido pode ser calculado por W = I I −→ F |d −→ r = (y +2xexp y, x − 2y + x C C 2 exp y) |(dx, dy) = I (y +2xexp y) dx + C ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ = dy I df =[f(x, y)] C (2,4) (1,1) = f(2, 4) − f(1, 1) = 6+4e 4 +16− (1 + e +1)=20+4e 4 − e. 2.3 Com o Teorema de Green - Exercícios propostos Exercise 8 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores −→ ¡ 2 2 F (x, y) =(2 x + y ¢ , (x + y) 2 ) ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2) e C(1, 3), percorrido no sentido positivo. Exercise 9 Calculeovalordointegraldelinha I ¡ 2 1+10xy + y ¢ dx + ¡ 6xy +5x 2¢ dy C ao longo do contorno de um quadrado de lado a orientado positivamente. Exercise 10 Calculeovalordointegraldelinha I ¡ ¢ ¡ 3 2 2 2 2xy − y cos x dx + 1 − 2y sin x +3x y ¢ dy C aolongodocontornodoparalelogramodevértices(0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2). Exercise 11 Use o teorema de Green para calcular a área da elipse de equação x2 y2 + =1. a2 b2 Exercise 12 UtilizeoteoremadeGreenparacalcularotrabalhodecampodevectores −→ F (x, y) =(y +3x) −→ e1 +(2y− x) −→ e2 quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse C de equação 4x 2 + y 2 =4.
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