Integrais duplos e de linha
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2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 43<br />
Exercise 7 Verifique que<br />
−→ F (x, y) =(y +2x exp y) −→ e1 + ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ −→ e2<br />
é um campo conservativo ou gradiente (ou com potencial) e <strong>de</strong>termine a respectiva função<br />
potencial associada. Calcule ainda o valor do trabalho do campo <strong>de</strong> vectores −→ F no <strong>de</strong>slo-<br />
camento <strong>de</strong> uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 4) da parábola <strong>de</strong> equação y = x 2 .<br />
Trata-se <strong>de</strong> verificarseexisteumafunçãof(x, y) tal que<br />
∂f ∂f<br />
dx +<br />
dx dy dy =(y +2xexp y) dx + ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ dy.<br />
Para que tal aconteça, a função terá <strong>de</strong> verificar o teorema <strong>de</strong> Schwarz, ou seja, terá <strong>de</strong> se<br />
verificar<br />
∂ (y +2x exp y)<br />
∂y<br />
= ∂ ¡ x − 2y + x2 exp y ¢<br />
.<br />
∂x<br />
De facto ambas as <strong>de</strong>rivadas têm por expressão 1+2x exp y. Po<strong>de</strong>mos assim concluir que<br />
o campo <strong>de</strong> vectores −→ F é um campo conservativo. Quanto à <strong>de</strong>terminação da função<br />
potencial f atenda-seaqueelaverifica as igualda<strong>de</strong>s<br />
Como tal,<br />
Z<br />
f(x, y) =<br />
∂f<br />
dx<br />
= y +2xexp y<br />
∂f<br />
dy = x − 2y + x2 exp y.<br />
(y +2x exp y) dx = yx + x 2 exp y + C(y).<br />
Dada a igualda<strong>de</strong> ∂f<br />
dy = x − 2y + x2 exp y, sabemos ainda que<br />
∂ ¡ yx + x2 exp y + C(y) ¢<br />
dy<br />
= x − 2y + x 2 exp y<br />
Po<strong>de</strong>mos então concluir que<br />
⇔ x + x 2 exp y + C 0 (y) =x − 2y + x 2 exp y<br />
⇒ C 0 (y) =2y ⇒ C(y) =y 2 + C<br />
f(x, y) =yx + x 2 exp y + y 2 .