Integrais duplos e de linha

2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 43
Exercise 7 Verifique que
−→ F (x, y) =(y +2x exp y) −→ e1 + ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ −→ e2
é um campo conservativo ou gradiente (ou com potencial) e determine a respectiva função
potencial associada. Calcule ainda o valor do trabalho do campo de vectores −→ F no deslo-
camento de uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 4) da parábola de equação y = x 2 .
Trata-se de verificarseexisteumafunçãof(x, y) tal que
∂f ∂f
dx +
dx dy dy =(y +2xexp y) dx + ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ dy.
Para que tal aconteça, a função terá de verificar o teorema de Schwarz, ou seja, terá de se
verificar
∂ (y +2x exp y)
∂y
= ∂ ¡ x − 2y + x2 exp y ¢
.
∂x
De facto ambas as derivadas têm por expressão 1+2x exp y. Podemos assim concluir que
o campo de vectores −→ F é um campo conservativo. Quanto à determinação da função
potencial f atenda-seaqueelaverifica as igualdades
Como tal,
Z
f(x, y) =
∂f
dx
= y +2xexp y
∂f
dy = x − 2y + x2 exp y.
(y +2x exp y) dx = yx + x 2 exp y + C(y).
Dada a igualdade ∂f
dy = x − 2y + x2 exp y, sabemos ainda que
∂ ¡ yx + x2 exp y + C(y) ¢
dy
= x − 2y + x 2 exp y
Podemos então concluir que
⇔ x + x 2 exp y + C 0 (y) =x − 2y + x 2 exp y
⇒ C 0 (y) =2y ⇒ C(y) =y 2 + C
f(x, y) =yx + x 2 exp y + y 2 .