Integrais duplos e de linha

42 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r
=(0, 0, 1). Temos então
dt
I
W = (xz, x, −yz) |d −→ I
r + (xz, x, −yz) |d −→ I
r + (xz, x, −yz) |d −→ r
=
=
=
C1
Z π
2
0
Z 1
+
Z π
2
∙
0
C2
(sin θ cos θ, sin θ, 0) |(cos θ, 0, − sin θ) dθ
0
(0, 1 − t, 0) |(−1, 1, 0) dt +
sin θ cos 2 θdθ +
− cos3 θ
3
¸ π
2
0
Z 1
∙
+ t − t2
2
0
¸1 Z 1
(1 − t)dt +
0
∙
t2 −
2
¸ 1
0
0
Z 1
C3
(0, 0, −t) |(0, 0, 1) dt
0
= 1
3 .
−t dt
Exercise 6 Mostre que πa(2b + a) éovalordointegraldelinha
Z
zdx + xdy + ydz
C
ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) =a cos t, y(t) =a sin t, z(t) =
bt, parat ∈ [0, 2π] .
Uma parametrização de C é
⎧
⎨ x(t) =a cos t
−→
r (t) ≡ y(t) =a sin t
⎩
z(t) =bt
para t ∈ [0, 2π]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r
=(−asin t, a cos t, b). Temos
dt
então
Z
Z 2π
zdx + xdy + ydz = bt (−a sin t) dt + a cos t (a cos t) dt + a sin t · bdt
C
0
Z 2π
= −abt sin tdt + a
0
2 cos 2 tdt + ab sin tdt
= [abt cos t] 2π
0
Z 2π
+ab sin tdt
0
= [abt cos t] 2π
0 − ab [sin t]2π
0
+ab [− cos t] 2π
0
Z 2π
− ab cos tdt + a
0
2
Z 2π
0
+ a2
= aπ (2b + a) .
1+cos(2t)
dt
2
∙
t 1
+
2 4 sin(2t)
¸2π 0