Integrais duplos e de linha

40 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
(b) O trabalho pedido pode ser calculado por
I
W =
I
−→
F |d
−→
r = (xy 2 , 1,z) |d −→ r
Uma parametrização de C é
⎧
⎨ x(t) =4cosθ
−→
r (θ) ≡ y(t) =3sinθ
⎩
z(t) =0
C
C
para θ ∈ [ π 3π
,
2 2 ]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r
=(−4sinθ, 3cosθ, 0). Temos
dθ
então
I
W = (xy 2 , 1,z) |d −→ Z 2
r = (36 cos θ sin 2 θ, 1, 0) |(−4sinθ, 3cosθ, 0)
=
C
Z 3π
2
π
2
(−144 cos θ sin 3 θ +3cosθ)dθ =
Exercise 4 Mostre que 4ab2 /3 éovalordointegraldelinha
Z
1
y
C
2 dx + x 2 dy
∙
−144 sin4 θ
4 +3sinθ
¸ 3π
2
π
2
= −6.
sendo C aporçãodaelipseentreosvértices(a, 0) e (−a, 0) passando pelo vértice (0,b) ,
para a, b > 0, com orientação positiva.
Uma parametrização de C é
½
−→ x(θ) =a cos θ
r (θ) ≡
y(θ) =b sin θ
para θ ∈ [0,π]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r
dθ
então
Z
y
C
2 dx + x 2 dy =
= .
=
=
=
Z π
b
0
2 sin 2 θ (−a sin θ) dθ + a 2 cos 2 θ (b cos θ) dθ
Z π
(−ab
0
2 sin 3 θ + a 2 b cos 3 θ)dθ
Z π
=(−a sin θ, b cos θ). Temos
(−ab 2 sin θ ¡ 1 − cos 2 θ ¢ + a 2 b cos θ(1 − sin 2 θ))dθ
0 Z π
(−ab
0
2 sin θ + ab 2 sin θ cos 2 θ + a 2 b cos θ − a 2 b cos θ sin 2 θ)dθ
∙
ab 2 cos θ − ab 2 cos3 θ
3 + a2b sin θ − a 2 b sin3 ¸π
θ
= −
3 0
4
3 ab2 .