Integrais duplos e de linha

2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 39
aquecorrespondeaexpressãogeraldovectortangente d−→ r
=(−1, 1). Umaparametriza-
dt
ção do arco C3, contido na recta x =1,é
½
−→ x(t) =1
r (t) ≡
para t ∈ [−3, −2]
y(t) =−t
a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r
=(0, −1). Temos então
dt
I
W = (2
C1
¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2 ) |d −→ I
r + (2
C2
¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2 ) |d −→ r
I
+ (2 ¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2 ) |d −→ r
=
=
Z 2
1
C3
2
Z 3
(4t
1
2 , 4t 2 ) |(1, 1) + (2((4 − t)
2
2 + t 2 ), 16) |(−1, 1)
Z −2
+ (2(1 + t
−3
2 ), (1 − t) 2 ) |(0, −1)
Z 2
8t 2 Z 3
dt + (−16 + 16t − t 2 Z −2
)dt + (−1+2t− t 2 )dt
¸ 2
∙
t3 ∙
= 8 + −16t +8t
3 1
2 − t3
∙
+
3 2
Exercise 3 Calcule o trabalho do campo de vectores
−→ 2
F (x, y, z) =(xy , 1,z)
¸ 3
−3
−t + t 2 − t3
3
¸ −2
−3
= − 4
3 .
aolongodacurvaCno espaço definida por (a) y =2∧ z = −2t +5 entre os pontos
(1, 2, 3) e (2, 2, 1); (b) x2 y2
+ =1∧ x ≤ 0 ∧ z =0.
16 9
(a) O trabalho pedido pode ser calculado por
I
I
−→
W = F |d
−→
r = (xy 2 , 1,z) |d −→ r
Uma parametrização de C é
⎧
⎨ x(t) =t
−→
r (t) ≡ y(t) =2
⎩
z(t) =−2t +5
C
C
para t ∈ [1, 2]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r
=(1, 0, −2). Temos então
dt
I
W = (xy 2 , 1,z) |d −→ Z 2
Z 2
r = (4t, 1, −2t +5)|(1, 0, −2) = (4t +4t− 10)dt
C
= £ 4t 2 − 10t ¤ 2
=16−20 − 4+10=2.
1
1
1