Integrais duplos e de linha

1.1. INTEGRAIS DUPLOS - DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 3
siderando x como constante) desde y = g1(x) (a fronteira inferior do domínio de integração
D) até y = g2(x) (a fronteira superior de D); depois o integral da expressão obtida em
relação à variável x no intervalo [a, b] ,isto é, do extremo esquerdo do domínio de integração
D até ao extremo direito de D.
Definição 1.1.2 O domínio D ⊂ R 2 diz-se regular segundo o eixo dos xx (no sentido do
eixo dos xx) se
1. Qualquer horizontal que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira
em apenas dois pontos
2. D é limitado pelas curvas x = h1(y) e x = h2 (y) epelasrectasy = c e y = d, sendo
h1(y) ≤ h2 (y) e c ≤ d.
Se o domínio de integração D é regular no sentido do eixo dos xx (ou segundo o eixo
dos xx), então a ordem de integração é dxdy e o integral duplo explicita-se (calcula-se)
por
ZZ
D
f(x, y)dxdy =
Z d
c
ÃZ h2(y)
!
f(x, y)dx dy =
h1(y)
Z d
c
dy
Z h2(y)
h1(y)
f (x, y) dx.
Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eixo dos xx, em
cada uma das seguintes situações:
x=h1 (y) x=h2 (y)
y y
d
c
D
a b
y=d
y=c
d
c
x=h 1 (y)
D
y=d
x=h 2 (y)
y=c
x x