Integrais duplos e de linha
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38 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA<br />
O trabalho pedido po<strong>de</strong> ser calculado por<br />
W =<br />
I<br />
I<br />
−→<br />
F |d<br />
−→<br />
r =<br />
¡ 2 2<br />
−x y,xy ¢ |d −→ r<br />
=<br />
C<br />
Z 2π<br />
0<br />
consi<strong>de</strong>rando a curva C parametrizada por<br />
½<br />
−→ x(θ) =a cos θ<br />
r (θ) ≡<br />
y(θ) =a sin θ<br />
C<br />
¡ −a 2 cos 2 θa sin θ, a cos θa 2 sin 2 θ ¢ |(−a sin θ, a cos θ) dθ<br />
para θ ∈ [0, 2π[.<br />
Notemos que a expressão geral do vector tangente é d−→ r<br />
=(−asin θ, a cos θ). Temos então<br />
dθ<br />
Z 2π<br />
Z<br />
¡ ¢ 2π<br />
4 2 2 4 2 2 4<br />
W = a cos θ sin θ + a cos θ sin θ dθ =2a cos 2 θ sin 2 θdθ<br />
0<br />
= 2a 4<br />
= a4<br />
2<br />
Z 2π<br />
0<br />
Z 2π<br />
0<br />
dθ =<br />
2<br />
2a4<br />
4<br />
1+cos(2θ)<br />
.<br />
2<br />
1 − cos(2θ)<br />
(1 − 1+cos(4θ)<br />
)dθ =<br />
2<br />
a4<br />
2<br />
∙<br />
θ − θ<br />
2<br />
Z 2π<br />
0<br />
0<br />
+ sin(4θ)<br />
8<br />
Exercise 2 Calcule o trabalho do campo <strong>de</strong> vectores<br />
−→<br />
³<br />
F (x, y) = 2 ¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2´<br />
(1 − cos 2 (2θ))dθ<br />
¸ θ=2π<br />
θ=0<br />
= a4 π<br />
2 .<br />
ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo <strong>de</strong> vértices A(1, 1), B(2, 2)<br />
e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.<br />
AcurvaC é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união <strong>de</strong> três arcos<br />
regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os segmentos <strong>de</strong> recta [AB], [BC] e [CA].<br />
O trabalho pedido po<strong>de</strong> ser calculado por<br />
I<br />
W =<br />
I<br />
−→<br />
F |d<br />
−→<br />
r =<br />
I<br />
−→<br />
F |d<br />
−→<br />
r +<br />
C<br />
C1<br />
C2<br />
I<br />
−→<br />
F |d<br />
−→<br />
r +<br />
Uma parametrização do arco C1, contido na recta y = x, é<br />
½<br />
−→ x(t) =t<br />
r (t) ≡<br />
para t ∈ [1, 2]<br />
y(t) =t<br />
C3<br />
−→ F |d −→ r .<br />
a que correspon<strong>de</strong> a expressão geral do vector tangente d−→ r<br />
=(1, 1). Uma parametrização<br />
dt<br />
do arco C2, contido na recta y = −x +4,é<br />
½<br />
−→ x(t) =4− t<br />
r (t) ≡<br />
para t ∈ [2, 3].<br />
y(t) =t