Integrais duplos e de linha

38 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
I
I
−→
F |d
−→
r =
¡ 2 2
−x y,xy ¢ |d −→ r
=
C
Z 2π
0
considerando a curva C parametrizada por
½
−→ x(θ) =a cos θ
r (θ) ≡
y(θ) =a sin θ
C
¡ −a 2 cos 2 θa sin θ, a cos θa 2 sin 2 θ ¢ |(−a sin θ, a cos θ) dθ
para θ ∈ [0, 2π[.
Notemos que a expressão geral do vector tangente é d−→ r
=(−asin θ, a cos θ). Temos então
dθ
Z 2π
Z
¡ ¢ 2π
4 2 2 4 2 2 4
W = a cos θ sin θ + a cos θ sin θ dθ =2a cos 2 θ sin 2 θdθ
0
= 2a 4
= a4
2
Z 2π
0
Z 2π
0
dθ =
2
2a4
4
1+cos(2θ)
.
2
1 − cos(2θ)
(1 − 1+cos(4θ)
)dθ =
2
a4
2
∙
θ − θ
2
Z 2π
0
0
+ sin(4θ)
8
Exercise 2 Calcule o trabalho do campo de vectores
−→
³
F (x, y) = 2 ¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2´
(1 − cos 2 (2θ))dθ
¸ θ=2π
θ=0
= a4 π
2 .
ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2)
e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.
AcurvaC é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união de três arcos
regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os segmentos de recta [AB], [BC] e [CA].
O trabalho pedido pode ser calculado por
I
W =
I
−→
F |d
−→
r =
I
−→
F |d
−→
r +
C
C1
C2
I
−→
F |d
−→
r +
Uma parametrização do arco C1, contido na recta y = x, é
½
−→ x(t) =t
r (t) ≡
para t ∈ [1, 2]
y(t) =t
C3
−→ F |d −→ r .
a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r
=(1, 1). Uma parametrização
dt
do arco C2, contido na recta y = −x +4,é
½
−→ x(t) =4− t
r (t) ≡
para t ∈ [2, 3].
y(t) =t