Integrais duplos e de linha

2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 37
20. Mostre a igualdade
I
ABCA
sendo A (1, 0, 0) ,B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1).
21. Use a fórmula
para provar que
xdx + zdy + ydz =0
R (P1)
(P0) f(x, y, z)d−→ r = R t1
t0 f (x(t),y(t),z(t)) ·k(x0 (t),y 0 (t),z 0 (t))k dt
(a) com −→ r (t) = ¡ t, t 2 ,t 3¢ ,P0(1, 1, 1), P1(2, 4, 8), ef(x, y, z) =xyz 2 se tem
Z (P1)
(P0)
f(x, y, z)d −→ r =
Z 2
1
t 9p 1+4t 2 +9t 4 dt;
(b) com −→ r (θ) = (4 cos θ, 4sinθ, 2θ) ,P0(4, 0, 0), P1(4, 0, 4π), ef(x, y, z) =z 2 se tem
Z (P1)
(P0)
22. Calcule o trabalho do campo de vectores
f(x, y, z)d −→ r = 64√ 5
3 π3 .
−→ F (x, y, z) =(xy 2 , 1,z)
ao longo da curva C no espaço definida por
(a) y =2∧ z = −2t +5entre os pontos (1, 2, 3) e (2, 2, 1);
(b) x2 y2
+ =1∧ x ≤ 0 ∧ z =0.
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2.2 Integrais de linha - Propostas de resolução
Exercise 1 Mostre que πa 4 /2 éovalordotrabalhodocampodevectores
−→ F (x, y) = ¡ −x 2 y, xy 2 ¢
ao longo da circunferência x 2 + y 2 = a 2 , percorrida no sentido positivo.