Integrais duplos e de linha
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2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 37<br />
20. Mostre a igualda<strong>de</strong><br />
I<br />
ABCA<br />
sendo A (1, 0, 0) ,B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1).<br />
21. Use a fórmula<br />
para provar que<br />
xdx + zdy + ydz =0<br />
R (P1)<br />
(P0) f(x, y, z)d−→ r = R t1<br />
t0 f (x(t),y(t),z(t)) ·k(x0 (t),y 0 (t),z 0 (t))k dt<br />
(a) com −→ r (t) = ¡ t, t 2 ,t 3¢ ,P0(1, 1, 1), P1(2, 4, 8), ef(x, y, z) =xyz 2 se tem<br />
Z (P1)<br />
(P0)<br />
f(x, y, z)d −→ r =<br />
Z 2<br />
1<br />
t 9p 1+4t 2 +9t 4 dt;<br />
(b) com −→ r (θ) = (4 cos θ, 4sinθ, 2θ) ,P0(4, 0, 0), P1(4, 0, 4π), ef(x, y, z) =z 2 se tem<br />
Z (P1)<br />
(P0)<br />
22. Calcule o trabalho do campo <strong>de</strong> vectores<br />
f(x, y, z)d −→ r = 64√ 5<br />
3 π3 .<br />
−→ F (x, y, z) =(xy 2 , 1,z)<br />
ao longo da curva C no espaço <strong>de</strong>finida por<br />
(a) y =2∧ z = −2t +5entre os pontos (1, 2, 3) e (2, 2, 1);<br />
(b) x2 y2<br />
+ =1∧ x ≤ 0 ∧ z =0.<br />
16 9<br />
2.2 <strong>Integrais</strong> <strong>de</strong> <strong>linha</strong> - Propostas <strong>de</strong> resolução<br />
Exercise 1 Mostre que πa 4 /2 éovalordotrabalhodocampo<strong>de</strong>vectores<br />
−→ F (x, y) = ¡ −x 2 y, xy 2 ¢<br />
ao longo da circunferência x 2 + y 2 = a 2 , percorrida no sentido positivo.