Integrais duplos e de linha

36 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
15. Considere o integral de linha
Z
C
x 2 ydx + x3
3 dy.
(a) Calcule o valor do integral de linha sendo C a curva plana definida por y = x 2
com 0 ≤ x ≤ 1;
(b) Provequeexisteumafunçãof(x, y) tal que
(c) Determine a função f tal que
df = x 2 ydx + x3
3 dy;
−−−→
gradf =
µ
x 2 y, x3
3
(d) Calcule o valor do integral de linha anterior usando a alínea b.
16. Calcule o valor do integral de linha
Z
¡ ¢ ¡ 4 2 3
2xy − y +3 dx + x − 4xy ¢ dy
C
;
ao longo da curva plana C definida parametricamente por
entre A(1, 0) e B(0, 1).
−→ r (θ) =(sinθ, arcsin θ)
17. Calcule o comprimento da curva plana definida por x 2 + y 2 = a 2 .
18. Mostre que πa (2b + a) éovalordointegraldelinha
Z
zdx + xdy + ydz
C
ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) =a cos t, y(t) =a sin t,
z(t) =bt, parat ∈ [0, 2π] .
19. Mostre que
Z (P2)
(P1)
(z + y) dx +(x + z) dy +(x + y) dz = 280
aolongodacurvaC no espaço parametrizada por −→ r (t) = ¡ t 2 ,t 3 ,t− 2 ¢ sabendo que
P1 (1, 1, −1) e P2 (9, 27, 1) .