Integrais duplos e de linha
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36 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA<br />
15. Consi<strong>de</strong>re o integral <strong>de</strong> <strong>linha</strong><br />
Z<br />
C<br />
x 2 ydx + x3<br />
3 dy.<br />
(a) Calcule o valor do integral <strong>de</strong> <strong>linha</strong> sendo C a curva plana <strong>de</strong>finida por y = x 2<br />
com 0 ≤ x ≤ 1;<br />
(b) Provequeexisteumafunçãof(x, y) tal que<br />
(c) Determine a função f tal que<br />
df = x 2 ydx + x3<br />
3 dy;<br />
−−−→<br />
gradf =<br />
µ<br />
x 2 y, x3<br />
3<br />
(d) Calcule o valor do integral <strong>de</strong> <strong>linha</strong> anterior usando a alínea b.<br />
16. Calcule o valor do integral <strong>de</strong> <strong>linha</strong><br />
Z<br />
¡ ¢ ¡ 4 2 3<br />
2xy − y +3 dx + x − 4xy ¢ dy<br />
C<br />
<br />
;<br />
ao longo da curva plana C <strong>de</strong>finida parametricamente por<br />
entre A(1, 0) e B(0, 1).<br />
−→ r (θ) =(sinθ, arcsin θ)<br />
17. Calcule o comprimento da curva plana <strong>de</strong>finida por x 2 + y 2 = a 2 .<br />
18. Mostre que πa (2b + a) éovalordointegral<strong>de</strong><strong>linha</strong><br />
Z<br />
zdx + xdy + ydz<br />
C<br />
ao longo da espira <strong>de</strong> hélice <strong>de</strong> equações paramétricas x(t) =a cos t, y(t) =a sin t,<br />
z(t) =bt, parat ∈ [0, 2π] .<br />
19. Mostre que<br />
Z (P2)<br />
(P1)<br />
(z + y) dx +(x + z) dy +(x + y) dz = 280<br />
aolongodacurvaC no espaço parametrizada por −→ r (t) = ¡ t 2 ,t 3 ,t− 2 ¢ sabendo que<br />
P1 (1, 1, −1) e P2 (9, 27, 1) .