Integrais duplos e de linha

2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 35
9. Determine, usando integrais de linha, a área do círculo.
10. Prove, utilizando integrais de linha, que πab é a área delimitada pela elipse de
equação
x 2
a
2 + y2
=1.
b2 11. Utilize o teorema de Green para mostrar que o trabalho realizado pelo campo de
vectores
−→ F (x, y) =(y +3x) −→ e1 +(2y − x) −→ e2,
quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da
elipse de equação 4x 2 + y 2 =4,éde−4π.
12. Calcule o valor do integral de linha
I
(2x − y +4)dx +(5x +3y − 6) dy
sendo C cada uma das seguintes curvas planas:
C
(a) o contorno do triângulo de vértices O(0, 0), A(3, 0) e B(3, 2);
(b) a circunferência de centro (0, 0) eraio4.
13. Mostre que é 3πa 2 /8 o valor da área da hipocicloide de equação x 2
3 + y 2
3 = a 2
3 cuja
parametrização é
⎧
⎨ x = a cos
−→
r ≡
⎩
3 θ
y = a sin3 θ
14. Verifique que o campo de vectores
, para 0 ≤ θ