Integrais duplos e de linha

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Capítulo 2 Integrais de Linha 2.1 Exercícios propostos 1. Calcule o valor do integral de linha Z C − y x2 x dx + + y2 x2 dy + y2 ao longo da curva plana C definida pela equação x 2 +y 2 = a 2 e percorrida no sentido positivo. 2. Verifique que é igual a zero o valor do integral curvilíneo do campo de vectores −→ F (x, y) =x −→ e1 + xy −→ e2 ao longo de qualquer circunferência de centro (0, 0), masque −→ F não é um campo gradiente ou conservativo (ou com potencial). 3. Calcule o valor do integral de linha Z xzdx + xdy − yzdz C sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro O (0, 0, 0) que une o ponto A (0, 0, 1) ao ponto B (1, 0, 0) seguidodeumsegmentode recta que une B (1, 0, 0) ao ponto D (0, 1, 0) e de outro segmento de recta que une D (0, 1, 0) ao ponto E (0, 1, 1) . 33
34 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA 4. Dada a curva no espaço definida parametricamente por ⎧ ⎨ x = x −→ r ≡ y = x ⎩ 2 z =0 compreendida entre os pontos A (−1, 1, 0) e B (2, 4, 0) , e sendo f(x, y, z) =xyz + x 2 − y 3 , mostre que Z f(x, y, z)dx = − 108 7 . C 5. Sendo C o arco de circunferência x2 + y2 = 1 compreendido entre A (0, 1, 0) e B(1, 0, 0), verifique a igualdade Z C ¡ x 2 y ¢ dy = − 1 4 . 6. Mostre que 4ab2 /3 éovalordointegraldelinha Z y C 2 dx + x 2 dy sendo C aporçãodaelipseentreosvértices(a, 0) e (−a, 0) passando pelo vértice (0,b) , com orientação positiva (a, b > 0). 7. Mostre que πa 4 /2 é o valor do trabalho do campo de vectores −→ F (x, y) = ¡ −x 2 y, xy 2 ¢ ao longo da circunferência x 2 + y 2 = a 2 , percorrida no sentido positivo. 8. Utilize os processos indicados em cada uma das alíneas para calcular o trabalho de campo de vectores −→ F (x, y) = ³ 2 ¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2´ ao longo da curva plana C sendoestaocontornodotriângulodevérticesA(1, 1), B(2, 2) e C(1, 3) percorrido no sentido positivo. (a) directamente pelas parametrizações; (b) usando o teorema de Green.
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