Integrais duplos e de linha

30 Integrais Duplos
Pode aplicar-se coordenadas polares a uma parte do domínio D:
Z 2π µZ 2
Z 2 µZ 2−x
V =
(2 − r cos θ − r sin θ)r dr dθ + (2 − x − y)dy dx
=
π
0
0 0
2
Z 2π ∙
r 2 − r3
¸r=2 Z 2 ∙
r3
cos θ − sin θ dθ + 2y − xy −
3 3 y2
¸y=2−x dx
2
=
=
=
π
2
Z 2π
π
2
Z 2π
π
2
(4 − 8 8
cos θ − sin θ)dθ +
3 3
(4 − 8 8
cos θ − sin θ)dθ +
3 3
∙
4θ − 8 8
sin θ + cos θ
3 3
¸ θ=2π
θ= π
2
r=0
Z 2
0
Z 2
0
0
(4 − 2x − 2x + x 2 −
(4 − 6x + 3
2 x2 )dx
∙
+ 4x − 3x 2 + 1
2 x3
= 8π + 8 8
16
− 2π + +8− 12 + 4 = 6π +
3 3 3 .
¸ x=2
1.6 Cálculo de volumes - Exercícios Propostos
x=0
y=0
4 − 4x + x2
)dx
2
1. Calcule o volume limitado pelas superfícies x 2 + y 2 + z − 8=0e x 2 +3y 2 − z =0.
2. Calcule o volume limitado pelas superfícies x 2 + y =4, x 2 − y +2 = 0, z =2e
z = −1.
3. Calcule o volume limitado pelas superfícies x 2 +y 2 −1=0, y = −1 e x 2 −y 2 +z 2 =0.
4. Calcule o volume da região do espaço definida pelas condições x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e
z ≤ p 3x 2 +3y 2 .
5. Utilizando os integrais duplos calcule os volumes dos sólidos limitados pelas seguintes
superfícies
(a)
(b)
½
x2 =4y
2y − x − 4=0
⎧
⎨
⎩
x 2 + y 2 =1
z =0
x + z =1