Integrais duplos e de linha

1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 29
A superfície y = x 2 é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo.
A superfície xy =1corresponde a um cilindro hiperbólico que se desenvolve ao longo
do z-eixo.
A superfície x =2é um plano paralelo ao yz-plano.
As superfícies y =0e z =0são, respectivamente, o xz-plano e o xy-plano.
Uma maior secção plana D destaregiãodoespaçoR é, no xy-plano, isto é, temos
D = © (x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x 2ª
½
∪ (x, y) ∈ R 2 | 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 1
¾
x
R = © (x, y, z) ∈ R 3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2ª .
O volume pedido pode ser calculado por:
ZZ
V = (x 2 + y 2 )dxdy
z =0.
=
=
=
=
D
Z Ã
1 Z x2 (x
0 0
2 + y 2 ! Z Ã
2 Z 1
x
)dy dx +
1 0
Z 1 ∙
x
0
2 y + y3
¸y=x2 Z 2 ∙
dx + x
3 y=0 1
2 y + y3
3
Z 1 µ
x
0
4 + x6
Z 2 µ
dx + x +
3
1
1
3x3 ¸x=1 ¸x=2 ∙ x 5
5
+ x7
21
∙
x2 1
+ −
2 6x2
dx =
(x 2 + y 2 )dy
¸ y= 1
x
= 1573
840 .
y=0
dx
!
dx
x=0
x=1
Exemplo 5. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 + y2 =4, x + y + z =2e
A superfície x 2 + y 2 =4corresponde a um cilindro circular que se desenvolve ao longo
do z-eixo.
A superfície x + y + z =2é um plano que intersecta os eixos coordenados em x =2,
y =2e z =2.
A superfície z =0éoxy-plano.
O volume pedido pode ser calculado por
ZZ
V = (2 − x − y)dxdy.
D