Integrais duplos e de linha
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2 <strong>Integrais</strong> Duplos<br />
Definição 1.1.1 O domínio D ⊂ R 2 diz-se regular segundo o eixo dos yy (no sentido do<br />
eixo dos yy) se<br />
1. Qualquer vertical que passe por um ponto interior <strong>de</strong> D intersecta a sua fronteira<br />
em apenas dois pontos<br />
2. D é limitado pelas curvas y = g1(x) e y = g2 (x) e pelas rectas x = a e x = b, sendo<br />
g1(x) ≤ g2 (x) e a ≤ b.<br />
Se o domínio <strong>de</strong> integração D éregularnosentidodoeixodosyy (ou segundo o eixo<br />
dos yy), então a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração é dydx e o integral duplo explicita-se (calcula-se)<br />
por<br />
ZZ<br />
D<br />
f(x, y)dxdy =<br />
Z b<br />
a<br />
ÃZ g2(x)<br />
!<br />
f(x, y)dy dx =<br />
g1(x)<br />
Z b<br />
a<br />
dx<br />
Z g2(x)<br />
g1(x)<br />
f (x, y) dy.<br />
Graficamente, temos um domínio <strong>de</strong> integração regular no sentido do eixo dos yy, em cada<br />
uma das seguintes situações:<br />
y=g2 (x)<br />
y y<br />
D<br />
y=g 1 (x)<br />
a b<br />
y=g2 (x)=c<br />
y y<br />
D<br />
y=g 1 (x)=d<br />
a b<br />
y=g 2 (x)<br />
y=g1 (x)<br />
x a b x<br />
y=g 2 (x)<br />
x a b x<br />
D<br />
D<br />
y=g 1 (x)<br />
Deve ficar claro que o cálculo <strong>de</strong> um integral duplo requer o cálculo <strong>de</strong> 2 integrais<br />
simples pela or<strong>de</strong>m indicada: primeiro o integral <strong>de</strong> f(x, y) em relação à variável y (con-
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