Integrais duplos e de linha

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1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 27 R = © (x, y, z) ∈ R 3 :(x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ b 2 − x 2 − y 2ª . O volume pedido pode ser calculado por: V = ZZ ¡ 2 2 2 b − x − y ¢ dxdy = = D Z a µZ a −a Z a −a −a ¡ 2 2 2 b − x − y ¢ Z a dy dx = b −a 2 y − x 2 y − y3 3 2b 2 a − 2ax 2 − 2 a3 3 dx =2b2ax − 2a x3 − 2a3 3 3 x ¯ ¯x=a x=−a = 4b 2 a 2 − 8 a4 3 . ¯ y=a y=−a dx Exemplo 2. Calcule o volume da região do espaço situada no 1 o octante limitado pelas superfícies x =1, z = x + y e x = √ 4 − y. As superfícies x =1e z = x + y são planos. A superfície x = √ 4 − y é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo dado que temos a equivalência x = p 4 − y ⇔ x 2 =4− y ∧ x ≥ 0. Uma maior secção plana D destaregiãodoespaçoR é, no xy-plano,isto é, temos D = © (x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x 2ª R = © (x, y, z) ∈ R 3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x + y ª . O volume pedido pode ser calculado por: ZZ V = (x + y)dxdy == = = Z 1 = 1 2 = 1 2 = 1 2 D ∙ xy + y2 2 ¸ y=4−x 2 Z Ã 1 Z 4−x2 0 dx = 0 Z 1 0 y=0 0 Z 1 4x − x 0 3 + 16 + x4 − 8x2 2 Z 1 ∙ 0 dx ¡ 8x − 2x 3 +16+x 4 − 8x 2 ¢ dx 4x 2 − x4 x5 +16x + 2 5 ∙ 4 − 1 2 +16+1 ¸ 8 − . 5 3 − 8x3 3 ! (x + y) dy dx x ¡ 4 − x 2¢ ¡ 4 − x2 + ¢ 2 dx 2 ¸ x=1 x=0 dx
28 Integrais Duplos Exemplo 3. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies x2 y2 + = a2 b2 1, z + y =2a e z =0(0
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Page 35 and 36: 34 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA

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