Integrais duplos e de linha
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1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 27<br />
R = © (x, y, z) ∈ R 3 :(x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ b 2 − x 2 − y 2ª .<br />
O volume pedido po<strong>de</strong> ser calculado por:<br />
V =<br />
ZZ<br />
¡ 2 2 2<br />
b − x − y ¢ dxdy<br />
=<br />
=<br />
D<br />
Z a µZ a<br />
−a<br />
Z a<br />
−a<br />
−a<br />
¡ 2 2 2<br />
b − x − y ¢ Z a<br />
dy dx = b<br />
−a<br />
2 y − x 2 y − y3<br />
3<br />
2b 2 a − 2ax 2 − 2 a3<br />
3 dx =2b2ax − 2a x3<br />
− 2a3<br />
3 3 x ¯ ¯x=a<br />
x=−a<br />
= 4b 2 a 2 − 8 a4<br />
3 .<br />
¯ y=a<br />
y=−a dx<br />
Exemplo 2. Calcule o volume da região do espaço situada no 1 o octante limitado<br />
pelas superfícies x =1, z = x + y e x = √ 4 − y.<br />
As superfícies x =1e z = x + y são planos.<br />
A superfície x = √ 4 − y é um cilindro parabólico que se <strong>de</strong>senvolve ao longo do z-eixo<br />
dado que temos a equivalência<br />
x = p 4 − y ⇔ x 2 =4− y ∧ x ≥ 0.<br />
Uma maior secção plana D <strong>de</strong>staregiãodoespaçoR é, no xy-plano,isto é, temos<br />
D = © (x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x 2ª<br />
R = © (x, y, z) ∈ R 3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x + y ª .<br />
O volume pedido po<strong>de</strong> ser calculado por:<br />
ZZ<br />
V = (x + y)dxdy ==<br />
=<br />
=<br />
Z 1<br />
= 1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
D<br />
∙<br />
xy + y2<br />
2<br />
¸ y=4−x 2<br />
Z Ã<br />
1 Z 4−x2 0<br />
dx =<br />
0<br />
Z 1<br />
0<br />
y=0<br />
0<br />
Z 1<br />
4x − x<br />
0<br />
3 + 16 + x4 − 8x2 2<br />
Z 1<br />
∙<br />
0<br />
dx<br />
¡ 8x − 2x 3 +16+x 4 − 8x 2 ¢ dx<br />
4x 2 − x4 x5<br />
+16x +<br />
2 5<br />
∙<br />
4 − 1<br />
2 +16+1<br />
¸<br />
8<br />
− .<br />
5 3<br />
− 8x3<br />
3<br />
!<br />
(x + y) dy dx<br />
x ¡ 4 − x 2¢ ¡<br />
4 − x2 +<br />
¢ 2<br />
dx<br />
2<br />
¸ x=1<br />
x=0<br />
dx