Integrais duplos e de linha

1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 27
R = © (x, y, z) ∈ R 3 :(x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ b 2 − x 2 − y 2ª .
O volume pedido pode ser calculado por:
V =
ZZ
¡ 2 2 2
b − x − y ¢ dxdy
=
=
D
Z a µZ a
−a
Z a
−a
−a
¡ 2 2 2
b − x − y ¢ Z a
dy dx = b
−a
2 y − x 2 y − y3
3
2b 2 a − 2ax 2 − 2 a3
3 dx =2b2ax − 2a x3
− 2a3
3 3 x ¯ ¯x=a
x=−a
= 4b 2 a 2 − 8 a4
3 .
¯ y=a
y=−a dx
Exemplo 2. Calcule o volume da região do espaço situada no 1 o octante limitado
pelas superfícies x =1, z = x + y e x = √ 4 − y.
As superfícies x =1e z = x + y são planos.
A superfície x = √ 4 − y é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo
dado que temos a equivalência
x = p 4 − y ⇔ x 2 =4− y ∧ x ≥ 0.
Uma maior secção plana D destaregiãodoespaçoR é, no xy-plano,isto é, temos
D = © (x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x 2ª
R = © (x, y, z) ∈ R 3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x + y ª .
O volume pedido pode ser calculado por:
ZZ
V = (x + y)dxdy ==
=
=
Z 1
= 1
2
= 1
2
= 1
2
D
∙
xy + y2
2
¸ y=4−x 2
Z Ã
1 Z 4−x2 0
dx =
0
Z 1
0
y=0
0
Z 1
4x − x
0
3 + 16 + x4 − 8x2 2
Z 1
∙
0
dx
¡ 8x − 2x 3 +16+x 4 − 8x 2 ¢ dx
4x 2 − x4 x5
+16x +
2 5
∙
4 − 1
2 +16+1
¸
8
− .
5 3
− 8x3
3
!
(x + y) dy dx
x ¡ 4 − x 2¢ ¡
4 − x2 +
¢ 2
dx
2
¸ x=1
x=0
dx