Integrais duplos e de linha

1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 23
12. Verifique que o valor do integral duplo
Z ∞
1
Z
dx
1
x4 0
xe x2√y dy =1.
13. Mostre, usando cada uma das possíveis ordens de integração, que 2/5 éovalordo
integral duplo
Z Z
D
xy 2 dxdy
para D = © (x, y) ∈ R 2 :0≤ y ≤ x ∧ xy ≤ 1 ª .
14. Considere o integral duplo
Z 0
−1
Z 2
dy
1+ √ −y
(a) Inverta a ordem de integração.
f(x, y) dx +
Z 1
(b) Calcule o valor do integral para f(x, y) =y.
15. Verifique que
Z Z
0
Z 2
dy
2− √ 1−y2 ¡ 2x 3 y + xy 2 ¢ dxdy =4
f(x, y) dx.
D
para D definido pelas condições y = x2 +1,y = x2 ,xy =3e xy =1.
16. Passar às coordenadas polares (r, θ) , no integral duplo RR
os limites de integração onde
(a) D = © x 2 + y 2 ≤ 4 ª
(b) D = © x 2 + y 2 ≤ 9x ª
(c) D = © x 2 + y 2 =4x, x 2 + y 2 =8x, y = x, y =2x ª
(d) D = © 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 ª
D
f (x, y) dxdy e encontrar
17. Utilizando dois metodos diferentes calcule as áreas dos domínios de integração que
se indicam
(a) D = {x =0,y =0,x+ y =1}