Integrais duplos e de linha
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1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21<br />
3. Calcule o valor do integral duplo<br />
Z Z<br />
D<br />
(x 3 +2y)dxdy<br />
sendo D a região do plano limitada pelas curvas x =1,x=2,y=2x 2 e y −<br />
x = 0 e para cada uma das possíveis or<strong>de</strong>ns <strong>de</strong> integração, R ¡R f(x, y)dx ¢ dy e<br />
R¡R f(x, y)dy ¢ dx.<br />
4. Determine RR<br />
D f(x, y)dxdy consi<strong>de</strong>rando f(x, y) =xy2 e<br />
D = © (x, y) ∈ R 2 : x 6 0,y > 0,x 2 + y 2 6 1 ª<br />
Averígue se po<strong>de</strong> retirar algumas conclusões acerca do valor e sinal do mesmo integral<br />
para outros domínios <strong>de</strong> integração como sejam<br />
D1 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0,y > 0,x 2 + y 2 6 1 ª<br />
D2 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0,x 2 + y 2 6 1 ª<br />
D3 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ y, y ≥−x, x 2 + y 2 6 1 ª<br />
5. Mostre que<br />
Z Z<br />
xy<br />
D<br />
2 dxdy = 212<br />
3<br />
sendo D o paralelogramo limitado pelas rectas x =3,x=5, 3x +2y − 4=0e<br />
2y +3x =1.<br />
6. Determine o valor do integral duplo<br />
Z Z<br />
D<br />
e y2<br />
dxdy<br />
n<br />
sendo D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ x<br />
o<br />
≤ y ≤ 3 .<br />
2<br />
7. Calcule e nos casos possíveis inverte a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração para os seguintes integrais<br />
<strong>duplos</strong><br />
(a)<br />
Z1<br />
Z<br />
1<br />
√<br />
0 x<br />
µ <br />
y3 +1<br />
sin dydx<br />
2