Integrais duplos e de linha

1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21
3. Calcule o valor do integral duplo
Z Z
D
(x 3 +2y)dxdy
sendo D a região do plano limitada pelas curvas x =1,x=2,y=2x 2 e y −
x = 0 e para cada uma das possíveis ordens de integração, R ¡R f(x, y)dx ¢ dy e
R¡R f(x, y)dy ¢ dx.
4. Determine RR
D f(x, y)dxdy considerando f(x, y) =xy2 e
D = © (x, y) ∈ R 2 : x 6 0,y > 0,x 2 + y 2 6 1 ª
Averígue se pode retirar algumas conclusões acerca do valor e sinal do mesmo integral
para outros domínios de integração como sejam
D1 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0,y > 0,x 2 + y 2 6 1 ª
D2 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0,x 2 + y 2 6 1 ª
D3 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ y, y ≥−x, x 2 + y 2 6 1 ª
5. Mostre que
Z Z
xy
D
2 dxdy = 212
3
sendo D o paralelogramo limitado pelas rectas x =3,x=5, 3x +2y − 4=0e
2y +3x =1.
6. Determine o valor do integral duplo
Z Z
D
e y2
dxdy
n
sendo D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ x
o
≤ y ≤ 3 .
2
7. Calcule e nos casos possíveis inverte a ordem de integração para os seguintes integrais
duplos
(a)
Z1
Z
1
√
0 x
µ
y3 +1
sin dydx
2