Integrais duplos e de linha

1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 19
y
0
D
y = x
1 2 4
y = - x
x
Figura 1.2:
Ω
r
0
4
2
r = 4 cos θ
r = 2 cos θ
O transformado de D (veja a sua representação gráfica) em coordenadas polares, o
conjunto Ω, é dado pelas relações
ou seja
(x − 1) 2 + y 2 ≥ 1 ⇒ r ≥ 2cosθ e (x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 ⇒ r ≤ 4cosθ
−x ≤ y ≤ x ⇒ −r cos θ ≤ r sin θ ≤ r cos θ
Ω =
⇒ −1 ≤ tan θ ≤ 1 ⇒ − π
4
n
(r, θ) :− π
4
≤ θ ≤ π
4
π
o
≤ θ ≤ , 2cosθ≤ r ≤ 4cosθ .
4
Nota-se que a ordem de integração permitida é drdθ (o domínio Ω é regular no sentido do
eixo dos rr) e o integral duplo escreve-se em coordenadas polares como sendo
ZZ
y
x + p x2 dxdy
+ y2 =
ZZ
sin θ
cos θ +1 rdrdθ=
Z π/4
dθ
−π/4
Z 4cosθ
2cosθ
sin θ
cos θ +1 rdr
D
=
= 0
Ω
Z π/4
−π/4
sin θ
cos θ +1
µ r 2
2
¯
¯¯¯ 4cosθ
2cosθ
Z π/4
dθ =6
−π/4
θ
sin θ
cos θ +1 cos2 θdθ
(o valor do itegral é nulo porque a função integranda é impar e os limites de integração
simétricos, logo A = A1 − A1 =0).