Integrais duplos e de linha

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1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 17 Este caso obtem-se quando o domínio D provém da intersecção de duas rectas que passam pela origem e de declive α e β e mais outras duas curvas quisquer (veja figura acima). Se o conjunto Ω tem a forma Ω = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, h1 (r) ≤ θ ≤ h2 (r)} , então a ordem de integração em coordenadas polares será dθdr (o domínio Ω sendo regular segundo θ) e então o integral duplo escreve-se como Z Z Z Z f (x, y) dxdy = F (r, θ) rdrdθ= D Ω Z b a dr Z h2(r) h1(r) F (r, θ) rdθ. Este caso resulte quando o domínio D provém da intersecção de duas circunferências com centro na origem e de raio a e b e mais outras duas curvas. Caso em qual o domínio D é o resultado da intersecção de duas circunferências com centro na origem e duas rectas que passam pela origem, então o domínio em coordenadas polares, Ω, sera regular nos dois sentidos permitidos e a ordem de integração é aleatória. Como caso particular pode afirmar-sequeaáreadodomíniodeintegraçãoD pode ser calculada em termos de coordenadas polares utilizando a seguinte fórmula Z β Z g2(θ) Área de D = dθ rdr= α g1(θ) 1 Z β ¡ 2 g2 (θ) − g 2 α 2 1 (θ) ¢ dθ considerando f(x, y) =1. Exemplo 1. Utilize coordenadas polares para calcular o valor do integral duplo Z Z xy dxdy onde D édefinido por © x 2 + y 2 ≤ 1,x≥ 0,y ≥ 0 ª . D Representação gráfica do domínio de integração D em coordenadas rectangulares: Cálculo do novo domínio de integração Ω e sua representação gráfica: 0 ≤ x 2 + y 2 = r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = r 2 ¡ cos 2 θ +sin 2 θ ¢ = r 2 ≤ 1 de onde 0
18 Integrais Duplos y 0 D 1 x Figura 1.1: θ 0 r = 1 Ω θ = π/2 A equação x =0tem a forma polar r cos θ =0 ⇒ cos θ =0. A equação y =0tem a forma polar r sin θ =0 ⇒ sin θ =0. Aequaçãosin θ =0 ⇒ θ =0representa o limite inferior de θ eolimtesuperiordeθ é dado pelo valor π/2 visto que cos θ =0. Tem-se então Ω = n (r, θ) :0
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