Integrais duplos e de linha

16 Integrais Duplos
Apresenta-se em seguida a metodologia de cálculo dos integrais duplos
Z Z
f (x, y) dxdy
D
utilizando as coordenadas polares (r, θ) . O primeiro passo consta em transformar o domínio
de integração D (dado em coordenadas cartesianas) no domínio equivalente, Ω, em coor-
denadas polares (r, θ) .
Admitindo que a função f (x, y) écontínuaemD, a função composta
F (r, θ) =f (r cos θ, r sin θ)
também vai ser contínua em todos os pontos do seu domínio Ω. Considerando a mudança
de variáveis para coordenadas polares, tem-se então que
Z Z
Z Z
Z Z
f (x, y) dxdy = f (r cos θ, r sin θ) rdrdθ=
D
visto que r é o valor do determinante da matriz jacobiana
Se o conjunto Ω édefinido por
Ω
∂ (x, y)
∂(r, θ)
Ω = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, g1 (θ) ≤ r ≤ g2 (θ)}
Ω
F (r, θ) rdrdθ
e r ≥ 0.
para 0 ≤ β − α ≤ 2π, então a ordem de integração em coordenadas polares será drdθ (o
domínio Ω sendo regular segundo r) e então o integral duplo escreve-se como
Z Z
Z Z
f (x, y) dxdy =
Z β Z g2(θ)
F (r, θ) rdrdθ= dθ F (r, θ) rdr
D
O
y
Ω
θ = β
r = g 1 (θ)
D
Eixo polar
r = g 2 (θ)
α
θ = α
x
g1(θ)