Integrais duplos e de linha

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1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 15 3. Em coordenadas rectangulares (x, y) a circunferência de centro C (0, 0) eraioa tem por equação x 2 + y 2 = a 2 . A mesma circunferência, em coordenadas polares (r, θ), tem por equação r = a. O interior da circunferência é definido por 0
16 Integrais Duplos Apresenta-se em seguida a metodologia de cálculo dos integrais duplos Z Z f (x, y) dxdy D utilizando as coordenadas polares (r, θ) . O primeiro passo consta em transformar o domínio de integração D (dado em coordenadas cartesianas) no domínio equivalente, Ω, em coordenadas polares (r, θ) . Admitindo que a função f (x, y) écontínuaemD, a função composta F (r, θ) =f (r cos θ, r sin θ) também vai ser contínua em todos os pontos do seu domínio Ω. Considerando a mudança de variáveis para coordenadas polares, tem-se então que Z Z Z Z Z Z f (x, y) dxdy = f (r cos θ, r sin θ) rdrdθ= D visto que r é o valor do determinante da matriz jacobiana Se o conjunto Ω édefinido por Ω ∂ (x, y) ∂(r, θ) Ω = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, g1 (θ) ≤ r ≤ g2 (θ)} Ω F (r, θ) rdrdθ e r ≥ 0. para 0 ≤ β − α ≤ 2π, então a ordem de integração em coordenadas polares será drdθ (o domínio Ω sendo regular segundo r) e então o integral duplo escreve-se como Z Z Z Z f (x, y) dxdy = Z β Z g2(θ) F (r, θ) rdrdθ= dθ F (r, θ) rdr D O y Ω θ = β r = g 1 (θ) D Eixo polar r = g 2 (θ) α θ = α x g1(θ)
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