Integrais duplos e de linha

14 Integrais Duplos
visto que cos θ = x
r
o que implica que
1.3.1 Exemplos
e sin θ = y
r
⎧
⎨
⎩
O
(ver figura abaixo),
r
θ
x
(x,y)
h
tan θ = y
, ou seja θ =arctany
x x
r2 = x2 + y2 1. Determine as coordenadas rectangulares do ponto P dado pelas seguintes coordenadas
polares (r, θ) =(2,π/3) .
Atendendo as relações x = r cos θ e y = r sin θ obtem-se x =2cos(π/3) = 2 1
2 =1
e y =2sin(π/3) = 2 √ 3
2 = √ 3. Portanto o ponto P tem as coordenadas rectangulares
¡ 1, √ 3 ¢ .
2. Encontre as coordenadas polares para o ponto P definido pelas seguintes coorde-
nadas rectangulares (x, y) = ¡ −2, 2 √ 3 ¢ .
Trata-se de um ponto do segundo quadrante. Sabemos que r cos θ = −2 e r sin θ =2 √ 3.
Encontra-se o seginte valor para o raio r fazendo r 2 = x 2 + y 2 =(r cos θ) 2 +(r sin θ) 2 =
(−2) 2 + ¡ 2 √ 3 ¢ 2 =16. Logo r =4. Considerando r =4obtem-se
Tem-se então θ =arcsin
¡
2 4, 3π¢ .
x = r cos θ =4cosθ = −2 =⇒ cos θ = − 1
2
y = r sin θ =4sinθ =2 √ .
3 =⇒ sin θ =
y
√
3
2 =arccos¡ − 1 ¢
2
2 = 3π. Então as coordenadas polares de P são
.
√ 3
2