Integrais duplos e de linha

1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 13
as coordenadas polares é utilizado um sistema de referência que consta de um ponto O
chamado pólo edeumraioqueseinicianopontoO designado por eixo polar.
Raio θ +π
θ +π
θ
Raio θ
O Eixo polar
Concretamente, um ponto P é dado pelas coordenadas polares (r, θ) se está posicionado
aumadistânciar do pólo O tal que semi-recta OP determina um ângulo de amplitude θ
radianos (medido no sentido positivo) com o semi-eixo positivo dos xx.
Contrariamente ao que acontece com as coordenadas rectângulares, as coordenadas
polares não estão univocamente determinadas. De facto, geometricamente não existe
distinção entre os pontos cujos ângulos diferam por um múltiplo de 2π, istoé(r, θ) =
(r, θ +2nπ) ,n∈ Z + . É, no entanto, usual considerar θ a amplitude do menor dos ângulos.
Tem-se então r ∈ R + 0
e θ ∈ [0, 2π[.
A relação entre as coordenadas polares (r, θ) e as coordenadas rectangulares (x, y) é
dada por
½ x = r cos θ
y = r sin θ