Integrais duplos e de linha

More documents

Recommendations

Info

1.2. EXEMPLOS 11 integração dxdy determina o seguinte integral iterado ZZ D (xy) dxdy = Z 4 −2 = 1 Z 4 2 = 1 2 = 1 2 Z y+1 dy y2 2 −3 −2 Z 4 −2 xydx = Ã y (y +1) 2 − Z 4 −2 µ 1 2 y2 − 3 µ − y5 4 +4y3 +2y 2 − 8y µ − y6 24 + y4 +2 y3 − 4y2 3 µ x2 2 y ¯y+1 ¯¯¯ y2 2 −3 dy ¯ ¯¯¯ 4 ! 2 dy = dy −2 =36. Estudando a regularidade de D segundooeixodosyy, ou seja, fazendo uma inversão da ordem de integração de dxdy para dydx, obtem-se uma divisão de D em dois sub-domínios de integração separados pela recta vertical de equação x = −1. y 2 =2x+6 y=(2x+6) 1/2 0 -3 0 1 y=-(2x+6) 1/2 D (-1,-2) x=-3 x=-1 y -1 -1 (5,4) y=x-1 Tem-se então o sub-domínio de integração D1 (regularnosentidodoeixodosyy) limitado pelas rectas verticais de equação x = −3 e x = −1 e pelas curvas horizontais y = g1 (x) =− √ 2x +6 (curva inferior) e y = g2 (x) = √ 2x +6 (curva superior) e o sub- domínio D2 (regular o sentido do eixo dos yy) limitado pelas rectas verticais x = −1 e x =5e pelas curvas horizontais y = g3 (x) =x − 1 (curva inferior) e y = g4 (x) = √ 2x +6 (curva superior). x=5 x
12 Integrais Duplos Então a ordem de integração é dydx e o integral iterado á calcular é dado por ZZ ZZ ZZ (xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy D = D1 Z −1 dx −3 Z √ 2x+6 − √ 2x+6 Exemplo 9. Explicita o integral duplo RR figura seguinte: x=-1 D y 0 y=1+x 2 x=y 2 x=1 D2 xydy + y=2 x D y=-1 Z 5 −1 Z dx √ 2x+6 xydy =36. x−1 (xy) dxdy, sendo D definido como na Regularidade segundo o eixo dos yy =⇒ ordem de integração dydx ZZ ZZ ZZ ZZ (xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy + (xy) dxdy = D = Z 0 −1 D1 dx Z 1+x 2 −1 D2 f (x, y) dy + Z 1 0 dx Z 1+x 2 √ x D3 f (x, y) dy + Regularidade segundo o eixo dos xx =⇒ ordem de integração dxdy ZZ ZZ ZZ ZZ (xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy + (xy) dxdy = D = Z 1 −1 D1 dy Z y 2 −1 D2 f (x, y) dx + Z 2 1 dy Z − √ y−1 −1 D3 f (x, y) dx + 1.3 Mudança de variável: coordenadas polares Z 1 0 Z 2 1 dx Z − √ x −1 f (x, y) dy. Z 1 dy √ f (x, y) dx. y−1 Quando se utilizam coordenadas rectangulares (x, y) o sistema de referência é dado por um par de rectas perpendiculares (os bem conhecidos eixos dos xx edosyy). Para definir
Page 1 and 2: ETI / EI, 1 o Ano UC: Análise Mate
Page 3 and 4: 2 Integrais Duplos Definição 1.1.
Page 5 and 6: 4 Integrais Duplos x=h1 (y)=a x=h2
Page 7 and 8: 6 Integrais Duplos Os pontos de int
Page 9 and 10: 8 Integrais Duplos Se optarmos pela
Page 11: 10 Integrais Duplos ZZ D x 2 dxdy =
Page 15 and 16: 14 Integrais Duplos visto que cos
Page 17 and 18: 16 Integrais Duplos Apresenta-se em
Page 19 and 20: 18 Integrais Duplos y 0 D 1 x Figur
Page 21 and 22: 20 Integrais Duplos 1.4 Integrais d
Page 23 and 24: 22 Integrais Duplos (b) (c) (d) (e)
Page 25 and 26: 24 Integrais Duplos (b) D = {y = x,
Page 27 and 28: 26 Integrais Duplos — de volumes,
Page 29 and 30: 28 Integrais Duplos Exemplo 3. Calc
Page 31 and 32: 30 Integrais Duplos Pode aplicar-se
Page 33 and 34: 32 Integrais Duplos 7. Calcule o vo
Page 35 and 36: 34 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA

Integrais duplos e de linha

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?