Integrais duplos e de linha
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12 <strong>Integrais</strong> Duplos<br />
Então a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração é dydx e o integral iterado á calcular é dado por<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
(xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy<br />
D<br />
=<br />
D1<br />
Z −1<br />
dx<br />
−3<br />
Z √ 2x+6<br />
− √ 2x+6<br />
Exemplo 9. Explicita o integral duplo RR<br />
figura seguinte:<br />
x=-1<br />
D<br />
y<br />
0<br />
y=1+x 2<br />
x=y 2<br />
x=1<br />
D2<br />
xydy +<br />
y=2<br />
x<br />
D<br />
y=-1<br />
Z 5<br />
−1<br />
Z<br />
dx<br />
√ 2x+6<br />
xydy =36.<br />
x−1<br />
(xy) dxdy, sendo D <strong>de</strong>finido como na<br />
Regularida<strong>de</strong> segundo o eixo dos yy =⇒ or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração dydx<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
(xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy + (xy) dxdy =<br />
D<br />
=<br />
Z 0<br />
−1<br />
D1<br />
dx<br />
Z 1+x 2<br />
−1<br />
D2<br />
f (x, y) dy +<br />
Z 1<br />
0<br />
dx<br />
Z 1+x 2<br />
√ x<br />
D3<br />
f (x, y) dy +<br />
Regularida<strong>de</strong> segundo o eixo dos xx =⇒ or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração dxdy<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
(xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy + (xy) dxdy =<br />
D<br />
=<br />
Z 1<br />
−1<br />
D1<br />
dy<br />
Z y 2<br />
−1<br />
D2<br />
f (x, y) dx +<br />
Z 2<br />
1<br />
dy<br />
Z − √ y−1<br />
−1<br />
D3<br />
f (x, y) dx +<br />
1.3 Mudança <strong>de</strong> variável: coor<strong>de</strong>nadas polares<br />
Z 1<br />
0<br />
Z 2<br />
1<br />
dx<br />
Z − √ x<br />
−1<br />
f (x, y) dy.<br />
Z 1<br />
dy √ f (x, y) dx.<br />
y−1<br />
Quando se utilizam coor<strong>de</strong>nadas rectangulares (x, y) o sistema <strong>de</strong> referência é dado por<br />
um par <strong>de</strong> rectas perpendiculares (os bem conhecidos eixos dos xx edosyy). Para <strong>de</strong>finir