Integrais duplos e de linha

10 Integrais Duplos
ZZ
D
x 2 dxdy =
Z 4
0
dx
Z x
0
x 2 dy +
Z 8
4
dx
Z 16/x
0
x 2 dy
Verifica-se através da figura que, qualquer que seja a ordem de integração escolhida, é
necessário separar o domínio de integração em 2 sub-regiões, a saber: D1 e D2 separadas
pela recta y =2quandoaopçãoé R ¡R f(x, y)dx ¢ dy, D 0 1 e D0 2
separadas pela recta x =4
quandoaopçãoé R¡R f(x, y)dy ¢ dx. O cálculo de qualquer um destes integrais iterados
conduz ao valor 448 para o integral duplo.
Exemplo 7. Determine o valor do integral duplo RR
integração D é limitado pelas curvas de equação y = x − 1 e y 2 =2x +6.
D
(xy) dxdy onde o domínio de
A parábola de equação y 2 =2x +6 tem a forma equivalente y = ± √ 2x +6vista como
função y de variável x e tem a forma x = y2
2 − 3 vista como função x de variável y. Os
pontos de intersecção entre a parábola e a recta calculam-se de 2x +6=(x − 1) 2 , oque
implica x 2 − 4x − 5=0, de onde x = −1 e x =5.
x=(y 2 /2)-3
0
-3 0 1
D
y
(-1,-2)
-1
-1
(5,4)
x=y+1
Consideramos a regularidade segundo o eixo dos xx (sendo mais fácil neste caso).
Então o domínio de integração D é limitado pelas rectas horizontais de equação y = −2
e y =4(calculados como as imagens dos pontos de intersecção x = −1 e x =5), epelas
curvas: á esquerda x = h1 (y) = y2
2 − 3 eádireitax = h2 (y) =y +1, logo, a ordem de
x
y=4
y=-2