analise combinatoria.pdf - Prof Marcelo Renato
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Exemplo 26 (continuação) Princípio da adição De uma forma genérica, o segredo de um cofre que requer três números no intervalo [1, n], onde o mesmo número não pode ser usado em seqüência mas o mesmo número pode ser usado na primeira e terceira posições tem a seguinte quantidade de segredos: (a) Quantidade de segredos supondo que seqüências de números idênticos são permitidas: – Isto é dado por n 3 . (b) Quantidade de segredos onde os três números são idênticos: – Existem exatamente n segredos onde os três números são idênticos. (c) Quantidade de segredos onde existem dois números idênticos em seqüência: – Existem n × (n − 1) × 2 segredos onde há dois números idênticos em seqüência. Logo, a quantidade de segredos que satisfazem o problema é dado por (a) − (b) − (c) = n 3 − n − 2n(n − 1) = n 3 − 2n 2 + n. UFMG/ICEx/DCC Matemática Discreta 46
Resolvendo o mesmo problema com o princípio da multiplicação Exemplo 26 (continuação) Este mesmo problema pode ser resolvido usando o princípio da multiplicação da seguinte forma: (a) Quantidade de números que podem ser usados como primeiro número do segredo: – Isto é dado por n. (b) Quantidade de números que podem ser usados como segundo número do segredo: – Isto é dado por n − 1, já que o primeiro número do segredo não pode ser repetido no segundo número. (c) Quantidade de números que podem ser usados como terceiro número do segredo: – Isto também é dado por n − 1. Note que temos n opções de números como terceira opção, mas o segundo número não pode ser usado na terceira opção. Logo, a quantidade de segredos que satisfazem o problema é dado por (a) × (b) × (c) = n(n − 1)(n − 1) = n(n 2 − 2n + 1) = n 3 − 2n 2 + n. UFMG/ICEx/DCC Matemática Discreta 47
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Resolvendo o mesmo problema com o princípio da<br />
multiplicação<br />
Exemplo 26 (continuação)<br />
Este mesmo problema pode ser resolvido usando o princípio da multiplicação da seguinte forma:<br />
(a) Quantidade de números que podem ser usados como primeiro número do segredo:<br />
– Isto é dado por n.<br />
(b) Quantidade de números que podem ser usados como segundo número do segredo:<br />
– Isto é dado por n − 1, já que o primeiro número do segredo não pode ser repetido no<br />
segundo número.<br />
(c) Quantidade de números que podem ser usados como terceiro número do segredo:<br />
– Isto também é dado por n − 1. Note que temos n opções de números como terceira<br />
opção, mas o segundo número não pode ser usado na terceira opção.<br />
Logo, a quantidade de segredos que satisfazem o problema é dado por<br />
(a) × (b) × (c) = n(n − 1)(n − 1) = n(n 2 − 2n + 1) = n 3 − 2n 2 + n.<br />
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