Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

W.Bianchini, A.R.Santos 285
Sn =
n∑
f(ci) ∆ xi,
i=1
onde ci é um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Esta soma é chamada soma de Riemann para f associada à
partição P . (O nome soma de Riemann foi dado em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann (1826-
1866), que, em seus trabalhos, estabeleceu o conceito de integral em bases matemáticas rigorosas.)
Se existir o limite
I = lim
n→∞ Sn = lim
n→∞
n∑
i=1
f(ci) ∆ xi = lim
∆ xi→0
n∑
f(ci) ∆ xi
para toda soma de Riemann associada à partição P de [a, b], dizemos que a função f é integrável em [a, b] e que a
integral definida de f, de a até b, denotada por
I =
∫ b
a
∫ b
a
i=1
f(x) dx, é este limite, isto é,
f(x) dx = lim
n→∞ Sn = lim
∆ xi→0
n∑
f(ci) ∆ xi .
O maior dos números ∆ xi é chamado norma da partição P e denotado por ||P ||. Usando esta notação e a definição
rigorosa de limite, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que se P é uma partição de
[a, b] sendo ||P || < δ, então ( n∑
)
f(ci) ∆ xi − I
< ε
i=1
para qualquer escolha dos números ci nos subintervalos [xi−1, xi].
A notação para integrais foi introduzida pelo matemático alemão G. W. Leibniz (1646-1716). O símbolo ∫ é
uma estilização da letra S da palavra Summa e é chamado sinal de integral. Os números a e b são chamados,
respectivamente, limite inferior e limite superior da integral. A função f é chamada de integrando, e o símbolo dx
indica que a função está sendo integrada com respeito a variável independente x, que neste contexto não deve ser
confundido com a diferencial de x. A variável x na integral é o que chamamos de uma variável muda. Ela pode ser
substituída por qualquer outra letra sem afetar o valor da integral. Assim, se f é integrável em [a, b], podemos escrever
∫ b
a
f(y) dy =
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
i=1
f(z) dz . . . etc.
Na definição de integral, temos que a < b, mas é conveniente também definirmos integral no caso em que b < a.
Neste caso, definimos
desde que esta última integral exista.
Além disso, se f(a) existe, então
∫ a
a
∫ b
a
f(x) dx = 0.
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx,
Na definição de integral não impomos restrições sobre a função f, apenas sobre a partição do intervalo [a, b]. Isto
nos leva à questão de saber quais funções são integráveis. O exemplo a seguir mostra que existem funções que não o
são.
Exemplo 1
Considere a função f definida em [0, 1] por:
f(x) =
{ 0 , para x racional
1 , para x irracional .
Qualquer que seja a partição do intervalo [0, 1], os subintervalos associados a essa partição sempre conterão pontos
n∑
racionais e irracionais. Se considerarmos duas somas de Riemann, uma do tipo f(ci) ∆ x, onde cada ci seja racional
e outra onde cada ci seja irracional, teremos, para a primeira delas, o valor zero; para a outra, o valor 1, o que mostra
que o limite depende da soma particular considerada, portanto, f não é integrável.
Exemplo 2
x=1