Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

284 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
Simplificando a soma acima obtém-se:
(
n−1 ∑ i π
π sen(
n
i=0
)
)
sen(
= −
n
π
n )
n (cos( π
) − 1)
n
Calculando o limite desta expressão, quando n → ∞, tem-se que
i π
n−1 ∑ sin( ) π
lim n = 2
n→∞ n
i=0
Da mesma maneira, considerando-se retângulos cujas alturas são o valor da função na extremidade xi1 de cada
subintervalo [xi−1, xi], obtém-se:
(
n∑
i π
π sen(
n
i=1
)
)
π sen(
= −
n
π
n )
n (cos( π
) − 1)
n
e
(
n∑
i π
π sin(
n
i=1
lim
n→∞
)
)
= 2
n
Considerando retângulos cujas alturas são o valor da função no ponto médio de cada subintervalo [xi−1, xi], temos
também
⎛ ⎛
n−1
⎜∑
(i +
⎜
π ⎝ sen ⎝
i=0
1
⎞⎞
) π
2 ⎟⎟
⎠⎠
n
π sen(
= −
n
π
n )
n (cos( π
) − 1)
n
e
⎛ ⎛
n−1
⎜∑
(i +
⎜
π ⎝ sen ⎝
1
⎞⎞
) π
2 ⎟⎟
⎠⎠
n
lim
n→∞
i=0
n
O valor do limite será o mesmo para qualquer soma do tipo ∑
f(ci) ∆ xi escolhida, onde ci ∈ [xi−1, xi]. Este
limite único é, por definição, a área da região R limitada pelo gráfico de uma função f contínua e positiva, pelo eixo
x e pelas retas x = a e x = b.
21.4 A Integral Definida
21.4.1 Definição
Vimos na seção anterior como calcular a área A de uma região limitada por uma função positiva, pelas retas x = a,
x = b e pelo eixo x. O que fizemos foi dividir o intervalo fechado [a, b] em n partes iguais e aproximar o valor da área
n∑
por somas do tipo f(ci) ∆ x. Vimos que, à medida que n cresce, o valor da soma se aproxima do valor de A. Esta
i=1
definição para áreas de regiões motiva a extensão deste procedimento a outras funções que não sejam necessariamente
positivas. Deste modo, vamos definir o que chamamos de integral de uma função f, onde f é uma função qualquer
definida em um intervalo fechado [a, b]. Para isso, considere uma divisão do intervalo [a, b], em n partes
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < ... < xn−1 < xn = b .
Esta divisão, como já vimos, define uma partição do intervalo a, b], que chamaremos de P . Seja ∆ xi = xi − xi−1,
tal que, para todo i, ∆ xi → 0 quando n → +∞. Formemos a soma
i
= 2