Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

W.Bianchini, A.R.Santos 283
tal que, para todo i, ∆ xi → 0 quando n → ∞, onde ∆ xi = xi − xi−1 é o comprimento de cada subintervalo da
partição. Então, a área da região é dada por
onde ci é um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi].
n−1 ∑
lim f(ci) ∆ x
n→∞
i=0
Vamos ilustrar esta definição com outro exemplo. Considere a função g(x) = sen(x), para x no intervalo [0, π] .
Queremos calcular a área hachurada mostrada na figura:
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Primeiro dividimos o intervalo [0, π] em n partes iguais. Neste caso, ∆ x = π
n . Considerando retângulos cujas
alturas são iguais ao valor da função na extremidade xi−1 de cada subintervalo [xi−1, xi], obtemos as seguintes
aproximações para a área, quando dividimos o intervalo [0, π] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:
1.813799365
1.954097234
1.896118898
1.933765598
1.966316679 1.974231603
Considerando retângulos cujas alturas são o valor da função na extremidade xi de cada subintervalo [xi−1, xi],
obtemos as aproximações mostradas na figura, à esquerda. Da mesma maneira, tomando retângulos cujas alturas são
o valor da função no ponto médio de cada subintervalo [xi, xi+1], obtemos as aproximações mostradas na figura à
direita.
1.813799365 1.896118898 1.933765598
1.954097234
1.966316679
1.974231603
2.094395102
2.023030320
2.052344307
2.016884178
2.033281478
2.012909086
As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a área procurada deve ser igual a 2. Vamos usar o
Maple para calcular as somas que aparecem nos três casos considerados e calcular o seu limite quando o número
de retângulos cresce sem limite (tende a infinito). Seja SN1 a soma das áreas dos retângulos cujas alturas são as
extremidades inferiores dos subintervalos. Assim,
SN1 :=
π
( n−1
∑
i=0
i π
sen(
n )
)
n