Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

W.Bianchini, A.R.Santos 281
> f:=x->x^2;
> Delta_x:=1/n;
f := x → x 2
Delta x := 1
n
A seguir, usamos o comando sum para calcular o valor de SI e de SS e o comando simplify para simplificar as
expressões obtidas
> SI:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=0..n-1)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i
> =0..n-1);
> simplify(SI);
SI :=
n−1 ∑
i=0
∑
1
n3 n−1
i=0
(1 + i
n )2
=
n
7 3
−
3 2
1 1
+
n 6
(n + i) 2 = 1 14 n
6
2 − 9 n + 1
n2 > SS:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1..n)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1
> ..n);
SS :=
n∑
i=1
> simplify(SS);
(1 + i
n )2
=
n
n + 1 (n + 1)2
+
n n2 −
1
n3 n∑
i=1
1
n 2
n + 1 1 (n + 1)
+
n2 3
3
n3 − 1 (n + 1)
2
2
n3 + 1
6
(n + i) 2 = 1 14 n
6
2 + 9 n + 1
n2 n + 1 1
−
n3 n
• Você é capaz de provar que as fórmulas obtidas acima para SI e SS são verdadeiras? (Veja o projeto O Maple e o
princípio da indução matemática.)
Calculando a diferença SS − SI,
> Erro:=SS-SI;
Erro :=
n + 1
n
> simplify(Erro);
+ (n + 1)2
n 2
−
n + 1 1 (n + 1)
+
n2 3
3
n3 − 1 (n + 1)
2
2
n3 + 1
6
3 1
n
n + 1 1
+
n3 2
1 7 1
− −
n 3 6
verificamos facilmente que esta expressão tende a zero, quando n → ∞ e, conseqüentemente, SI e SS convergem para
o mesmo valor, neste caso 7
7
3 . (Examine as expressões de SI e SS e comprove que realmente lim SI = lim SS =
n→∞ n→∞ 3 .)
No exemplo estudado, a função f é crescente e, geometricamente, podemos ver que o valor da diferença SS − SI
é dada por
( f(x1) − f(x0) + f(x2) − f(x1) + ... + f(xn−1) + f(xn)) ∆ x = f(2)−f(1)
n .
Esta última expressão torna fácil verificar que, para funções crescentes (ou decrescentes!), quando n → ∞, o erro
cometido na aproximação por somas superiores ou inferiores realmente tende a zero (Veja problema 1).
Podemos repetir o processo acima, considerando retângulos cuja altura seja o valor da função em qualquer ponto
do subintervalo [xi−1, xi], por exemplo, o ponto médio de cada subintervalo. (Veja a figura abaixo.)
1
n 2