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280 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
A soma das áreas dos retângulos inscritos, chamada soma inferior, será dada por:
SI = f(c0) ∆ x + f(c1) ∆ x + . . . + f(cn−1) ∆ x =
n−1 ∑
i=0
f(ci) ∆ x
onde f(ci) é o menor valor da função f em cada subintervalo [xi−1, xi]. No exemplo que estamos estudando, este
valor ocorre em xi, extremo inferior de cada subintervalo, portanto, a soma inferior será dada por
SI = f(x0) ∆ x + f(x1) ∆ x + . . . + f(xn−1) ∆ x =
n−1 ∑
i=0
f(xi) ∆ x
A soma das áreas dos retângulos circunscritos, chamada soma superior, será obtida calculando-se:
SS = f(w1) ∆ x + . . . + f(wn) ∆ x =
n∑
f(wi) ∆ x
onde f(wi) é o maior valor da função f no intervalo [xi−1, xi]. No nosso exemplo, este valor extremo ocorre em xi,
que é o extremo superior de cada um dos subintervalos considerados. Neste caso particular, portanto, a soma superior
será dada por
n∑
SS = f(x1) ∆ x + . . . + f(xn) ∆ x = f(xi) ∆ x
Assim,
SI ≤ área da figura ≤ SS
Para obtermos estimativas para a área da figura dada, nossa tarefa se reduz agora, a calcular os valores de SI e
SS. Do modo como foi definida a partição, temos que:
x1 = 1 + 1
n ; x2 = x1 + 1 2
= 1 +
n n ; x3 = 1 + 3
n ; ...; xn = 1 + n
= 2 .
n
Lembrando que neste exemplo particular, f(x) = x 2 , o valor da soma inferior será dado por:
SI :=
n−1 ∑
i=0
(1 + i
n )2
n
Veja o diagrama a seguir, onde foram construídos retângulos inscritos para n = 3, 5, 8, 11, 14, e 17, sucessivamente.
Lembre-se de que o valor de n define o número de subintervalos e, conseqüentemente, de retângulos determinados pela
partição.
Raciocinando da mesma maneira, para a soma superior obtemos a seguinte expressão
n∑ (1 +
SS :=
i
n )2
n
i=1
que fornece o valor da soma das áreas de n retângulos circunscritos à figura.
Nesse ponto, vamos usar o Maple para mostrar que à medida em que n cresce, a diferença entre SS e SI tende
a zero e a soma das áreas, quer dos retângulos inscritos, quer dos retângulos circunscritos, converge para o mesmo
limite.
Para isso, primeiro definimos a função f e o valor de ∆ x
i=1
i=1