Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

W.Bianchini, A.R.Santos 279
8
6
4
2
0
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
O conhecimento de um método de resolução deste problema particular é suficiente para tratar regiões mais complicadas.
O cálculo da área de uma região cuja fronteira seja uma curva pode, com freqüência, ser reduzido a este
problema mais simples.
No Cap. 3 vimos que soluções aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindo-se o intervalo [0, 1] em
subintervalos e calculando-se a soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos à figura, como é mostrado a
seguir.
8
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4
2
0
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
8
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4
2
0
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
À medida em que aumentamos o número de subdivisões do intervalo e, conseqüentemente, o número de retângulos
considerados, a soma das áreas desses retângulos se aproxima cada vez mais da área da região dada. Veja esta afirmação
ilustrada na figura seguinte à esquerda, onde consideramos retângulos inscritos. Observe, também, a figura à direita,
considerando retângulos circunscritos. (Execute na versão eletrônica as animações correspondentes.)
1.851851852
x
2.122448981
x
2.198347107
x
1.968750000
x
2.148437500
x
2.209490741
x
2.040000000
x
2.168724280
x
2.218934911
x
2.087962964
x
2.185000000
x
2.227040816
x
2.851851852
2.551020409
x
2.471074380
x
2.718750000
x
2.523437500
x
2.459490741
x
2.640000000
x
2.502057613
x
2.449704142
x
2.587962964
x
2.485000000
x
2.441326531
No primeiro caso, a estimativa obtida para a área da região é menor do que o seu valor exato; no segundo, maior.
Assim, podemos afirmar que o valor exato da área está entre os dois valores obtidos usando-se as aproximações acima.
Desta maneira, o erro cometido é menor do que a diferença entre estes dois valores.
Vamos provar que, à medida que aumenta o número n de retângulos considerados nestes cálculos, o erro diminui,
e tanto a soma das áreas dos retângulos inscritos quanto a soma das áreas dos retângulos circunscritos se aproximam
de um mesmo valor. Definiremos, então, a área da região dada como sendo igual ao valor deste limite único.
Vamos executar passo a passo o procedimento descrito acima para entender como o método funciona e obter um
valor aproximado para a área da região limitada pela função f(x) = x 2 , pelas retas x = 1 e x = 2 e pelo eixo x.
Primeiro dividimos o intervalo [1, 2] em n partes. Assim, temos que
{1= xo < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = 2} .
Em matemática, uma divisão deste tipo é chamada de partição do intervalo [1, 2]. No nosso caso, vamos considerar
uma partição ou divisão do intervalo dado em n partes iguais. Deste modo, os comprimentos dos subintervalos da
forma [xi−1, xi], para 1 ≤ i ≤ n, são iguais e a partição do intervalo é dita regular. Usaremos o símbolo ∆ x para
denotar este comprimento, isto é,
∆ x = x1 − x0 = x2 − x1 = x3 − x2 = . . . = xi − xi−1 = . . . = xn − xn−1 =
x
2 − 1
n
x
= 1
n .