Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

W.Bianchini, A.R.Santos 297
Estas duas condições garantem que P (n) é verdadeira para todo n. De fato, se P (1) é verdade, então (usando
(2) no caso particular em que k =1), segue que P (2) é verdade. Agora, como P (2) é verdade (usando (2) no caso
particular em que k =2), segue que P (3) é verdade, assim por diante.
Desta maneira, fica claro que qualquer que seja o número n, ele será alcançado por um número suficiente de passos,
como descrito acima.
Para ilustrar o raciocínio que se esconde por trás do princípio da indução, imagine uma linha infinita de pessoas
numeradas da seguinte maneira P (1), P (2), P (3),... Um segredo é contado à primeira pessoa da fila (P (1) conhece o
segredo) e cada pessoa tem a instrução de contar qualquer segredo para a pessoa que a segue na fila, aquela com o
número seguinte ao seu próprio (se P (k) conhece o segredo, P (k + 1) conhece o segredo). Então, está claro que cada
pessoa da fila acabará conhecendo o segredo!
n∑
Para provar a conjectura feita acima, isto é, (2 i − 1) = n 2 , precisamos, portanto,
1. Provar que esta fórmula vale para n = 1. (O que é óbvio, pois 1 = 1.)
i=1
2. Supondo que esta fórmula valha para n = k, mostrar que ela é verdadeira para n = k + 1.
O objetivo deste projeto é mostrar como usar o Maple para obter fórmulas do tipo anterior e ainda verificar a
validade de P (1) e fazer as contas necessárias para estabelecer que a validade de P (k) implica na validade de P (k + 1).
Vamos realizar esta tarefa com a ajuda do Maple. O comando sum e a sua forma inerte Sum podem ser usados
para obter as fórmulas a serem provadas. Assim,
> Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);
> simplify(%);
n∑
(2 i − 1) = (n + 1) 2 − 2 n − 1
i=1
n∑
(2 i − 1) = n2 Agora, podemos construir a função que a cada n associa esta soma:
i=1
> P:=n->Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);
P := n →
n∑
(2 i − 1) =
i=1
n∑
(2 i − 1)
Deste modo, podemos calcular o valor de P (n), qualquer que seja o número natural n, simplesmente calculando o
valor da função P , neste ponto:
> P(3);
> P(7);
Assim, fica claro que P (1) é verdade pois,
> P(1);
> value(%);
i=1
3∑
(2 i − 1) = 9
i=1
7∑
(2 i − 1) = 49
i=1
1∑
(2 i − 1) = 1
i=1
1 = 1
Suponhamos agora que P (k) seja verdade para algum inteiro positivo k. Vamos considerar, portanto, que
> P(k);
k∑
(2 i − 1) = (k + 1) 2 − 2 k − 1
i=1