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296 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
(b) Use os comandos leftbox e rightbox do pacote student para ilustrar como podemos aproximar a integral
da função dada no intervalo [0, 2] por meio da soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos na
região delimitada pela função, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2.
(c) Determine o menor valor de n (números de retângulos) que garanta uma estimativa para a integral da
função com erro máximo de 0,1.(Veja Problemas 1 e 2.)
(d) Use o comando sum para obter uma estimativa a maior e uma estimativa a menor para a área da região
limitada por y = f(x), y = 0, x = 0 e x = 2.
(e) Use o comando sum para obter estas mesmas estimativas como função do número n de retângulos usados.
(f) Use o comando limit(...,n=infinity) e a expressão que você encontrou no item anterior para obter o valor
exato da área da região.
2. Considere a função g(x) = cos( x
2 ).
(a) Mostre que g é monótona em [0, 1].
(b) Obtenha uma expressão geral para uma subestimativa para a área limitada pela curva y = g(x), pelo eixo
x e pelas retas x = 0 e x = 1.
(c) Calcule o erro máximo que se comete ao aproximar a área da região descrita acima pela soma das áreas de
10 retângulos inscritos na região.
(d) Obtenha o valor exato desta área.
(e) Use as conclusões obtidas nos itens anteriores e a função f(x) = √ 1 − x 2 , definida em [a, b] = [0, 1] , para
obter aproximações de π
4
com erro menor que 1
10 .
3. Nem todas as funções são monótonas, entretanto, as idéias estudadas aqui podem ser estendidas a funções que
não são monótonas. Descreva como é possível estender as idéias estudadas neste capítulo a funções contínuas
mais gerais a fim de garantir que as aproximações de ∫ b
f(x) dx, obtidas por meio de somas de Riemann, tenham
a
uma precisão fixada.
4. As somas de Riemann obtidas considerando-se o ponto médio de cada subintervalo de uma partição P do intervalo
[a, b] também fornecem uma aproximação para a área da região delimitada por uma função f, positiva, definida
em [a, b], pelo eixo x e pelas retas x = a e x= b. Para funções monótonas, a aproximação obtida utilizando-se o
ponto médio de cada subintervalo pode conduzir a subestimativas ou a superestimativas.
(a) Dê exemplos de funções para as quais a aproximação obtida considerando-se o ponto médio de cada subintervalo
fornece uma subestimativa para a área de uma região delimitada pela função dada, pelo eixo x e
por duas retas verticais.
(b) Dê exemplos de funções para as quais a aproximação obtida considerando-se o ponto médio de cada subintervalo
fornece uma superestimativa para a área da região descrita acima.
5. Podemos obter aproximações para regiões do tipo descrito nos itens anteriores considerando o extremo inferior
e o extremo superior de cada subintervalo considerado em uma partição do intervalo [a, b]. A média aritmética
das aproximações assim obtidas é conhecida como regra do trapézio para o cálculo destas áreas.
(a) Explique o porquê deste nome e estabeleça um critério geométrico que permita afirmar quando a regra do
trapézio fornece uma subestimativa para a área da região e quando esta regra fornece uma superestimativa.
21.10.3 O Maple e o princípio da indução matemática
O princípio da indução é uma das mais importantes (e úteis) técnicas de demonstração em matemática. Este princípio,
em geral, é usado quando precisamos demonstrar que uma determinada fórmula vale para todos os números naturais.
Por exemplo, podemos observar que 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16. A partir destes dados, poderíamos
conjecturar que a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n 2 , isto é, 1 + 3 + ...+ ( 2 n − 1) = n 2 . O princípio
da indução matemática afirma que uma fórmula, P(n), é verdadeira para todo número natural n se
1. P (1) é verdadeira.
2. Considerando P (k) verdadeira, conseguirmos mostrar que P (k + 1) é verdadeira.