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278 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
Uma soma infinita de termos pode ser representada assim
a1 + a2 + a3 + . . . =
Logo, a soma dos termos de uma PG infinita de razão r é assim representada
∞∑
i=1
a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar (n−1) + . . . =
∞∑
ar (i−1)
Exemplo 1 Considere a soma Rn = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 . Usando a notação de somatório, podemos escrever
n∑
Rn = i 2 .
i=1
Exemplo 2 Considere a soma
Exercícios
i=1
5∑
(i 2 − 1). Escrevendo por extenso essa soma, obtemos:
i=2
1. Converta cada uma das somas indicadas em notação de somatório:
(a) 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 + (n + 1) 2
(b) 3 2 + 4 2 + . . . + k 2
2. Escreva por extenso cada uma das somas abaixo :
5∑
(a) (bi + 2 ci) (b)
n∑
i 7
i=3
i=m
5∑
(i 2 − 1) = 2 2 − 1 + 3 2 − 1 + 4 2
i=2
(c) k 2 + (k + 1) 2 + (k + 2) 2 + . . . + (n − 1) 2
(d) 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − . . .
3. Com a expressão 0, 99999 . . . queremos representar a soma 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . .. Escreva essa soma usando
a notação de somatório.
4.
É verdade que:
(a)
(b)
n∑
n∑
kai = k ( ai)? Justifique sua resposta.
i=1
n∑
i=1
i=1
( hi h h3
)2 =
n n n3 n∑
i 2 ? Justifique sua resposta.
i=1
21.3 O cálculo de áreas como limites
Em geral, a definição formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes dificuldades. Por exemplo, tivemos grandes
dificuldades ao tentarmos formalizar uma definição para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. A
formalização do conceito de área apresenta dificuldades semelhantes.
Em geometria elementar, são deduzidas fórmulas para áreas de muitas figuras planas, mas se pararmos para
pensar um pouco, chegaremos à conclusão de que uma definição, matematicamente aceitável de área, raramente nos
é fornecida.
A área de uma região é definida, às vezes, como o número de quadrados de lados de comprimento um que “cabem”
numa dada região. Desse modo, obtivemos fórmulas para áreas de figuras planas tais como quadrados, retângulos,
triângulos, trapézios, etc. Basta, no entanto que a região seja um pouco mais complicada para que esta definição
se mostre inadequada. Como poderíamos calcular, por exemplo, o número de quadrados de lado 1, ou 1 1
2 , ou 4 , que
cabem em um círculo unitário?
Neste capítulo, tentaremos definir áreas de regiões com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho se
concentrará num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a área de uma região
limitada pelo gráfico de uma função y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra a
figura para a função y = x2 .