Cap´ıtulo 21 Introdução à Integral: Cálculo deÁreas e Integrais ...

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294 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas 7. (a) Dê exemplo de uma função contínua no intervalo (0, 1) tal que ∫ 1 f(x) dx não exista. 0 (b) Dê exemplo de uma função que não seja contínua em [0, 1], tal que exista ∫ 1 f(x) dx . 0 8. Mostre que se f é integrável em um intervalo fechado e se a, b e c são três números quaisquer deste intervalo, então ∫ b a f(x) dx = ∫ c a f(x) dx + ∫ b f(x) dx. c 9. (a) Se f(x) ≤ M para todo x em [a, b], prove que ∫ b f(x) dx ≤ M (b − a). Ilustre o resultado graficamente. a (b) Se m ≤ f(x) para todo x em [a, b], prove que m (b − a) ≤ ∫ b f(x) dx. Ilustre o resultado graficamente. a (c) Mostre que se f e g são integráveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], então ∫ b a g(x) dx ≤ ∫ b f(x) dx. a (d) Seja f integrável em [a, b]. Mostre que ∫ b f(x) dx ≤ ∫ b |f(x)| dx a 10. Seja f(x) = 1 + x 4 . Ache o valor médio de f no intervalo de 0 até 0,001, com dez casas decimais exatas. Sugestão: A resposta deve ser dada rapidamente. Se você não consegue perceber como isto pode ser feito, calcule a resposta usando força bruta. O número obtido sugere como os cálculos poderiam ter sido evitados. 11. Se f(x) = k para todo x em [a, b], prove que todo número c em [a, b] satisfaz a conclusão do teorema do valor médio para integrais definidas. Interprete este resultado geometricamente. 12. Se f(x) = x e 0 < a < b, determine (sem integrar) um número c em (a,b) tal que ∫ b f(x) dx = f(c) (b − a). a 21.9 Um pouco de história Parece que o primeiro a calcular a área exata de uma figura limitada por curvas foi Hipócrates de Chios, o mais famoso matemático grego do século V A.C.. Ele calculou a área da figura em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta figura, construída por dois círculos (o círculo centrado em (0, 0) e raio unitário e o círculo centrado em (0, −1) e passando pelos pontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lúnula de Hipócrates, em homenagem àquele que descobriu que a sua área é igual à área do quadrado cujo lado é o raio do círculo. O problema da quadratura de um círculo, isto é, de achar um quadrado de área equivalente à de um círculo de raio dado, é um dos problemas clássicos da Geometria a que muitos matemáticos dedicaram atenção, desde a Antiguidade. Hipócrates “quadrou a lúnula”, embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do círculo. Os geômetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema é construir a sua solução utilizando somente uma régua não graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do círculo é impossível de resolver utilizando-se apenas régua e compasso. À primeira vista parece que o problema de calcular áreas é um assunto de interesse apenas para geômetras, sem aplicações na vida prática fora da Matemática. Isto não é verdade. No transcorrer dos próximos capítulos, veremos que muitos conceitos importantes de Física, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a força total que age sobre uma barragem em virtude da pressão de água no reservatório, por exemplo, dependem das mesmas idéias utilizadas neste capítulo para o cálculo de áreas. 21.10 Projetos 21.10.1 Somas de Riemann aleatórias Uma soma de Riemann de uma função f definida em um intervalo [a, b] tem a forma geral S = f(c1) (x2 − x1) + f(c2) (x3 − x2) + . . . + f(cn−1) (xn − xn−1) , onde a = x1 < x2 < .... < xn = b é uma partição do intervalo [a, b] e cada ci é tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi. O objetivo deste projeto é calcular somas de Riemann para a função f(x) = x 3 + 3 x 2 + 2 x − 5, definidas por meio de uma partição do intervalo [0, 1] em 15 partes, geradas aleatoriamente. Para obter números aleatórios, vamos utilizar o comando rand() do Maple. Cada vez que este comando é executado, um número entre 1 e 10 12 é escolhido ao acaso. Assim, a linha de comando abaixo gera uma seqüência de 31 = 2.15 + 1 números aleatórios, entre 1 e 10 12 . Execute-o várias vezes! a 0.5 0 –0.5 –1 –1.5 1 –2 x
W.Bianchini, A.R.Santos 295 > numeros:=[seq(rand(),k=1..31)]; k:=’k’: numeros := [97396414947, 780422731613, 987785640265, 674198272844, 134050365811, 754869582636, 140810856859, 347877704841, 433599229456, 898724880795, 485531802023, 255050614524, 952922474293, 642065329619, 154912668026, 856069438450, 681407641506, 962917791070, 874166946435, 905950292905, 549552888716, 84125842236, 67060541266, 621757734462, 223575905687, 273574099511, 410424381304, 659501247275, 887974857856, 234450269247, 606386273485] Como queremos pontos pertencentes ao intervalo [0, 1], vamos converter os pontos gerados pelo comando acima para este intervalo, por uma mudança de escala: > pts:=map(x->evalf(x/10^12),numeros); pts := [.09739641495, .7804227316, .9877856403, .6741982728, .1340503658, .7548695826, .1408108569, .3478777048, .4335992295, .8987248808, .4855318020, .2550506145, .9529224743, .6420653296, .1549126680, .8560694385, .6814076415, .9629177911, .8741669464, .9059502929, .5495528887, .08412584224, .06706054127, .6217577345, .2235759057, .2735740995, .4104243813, .6595012473, .8879748579, .2344502692, .6063862735] Para formar os pontos da partição, precisamos colocar esta última seqüência em ordem crescente. Isto é feito utilizando-se o comando sort: > part:=sort(pts); part := [.06706054127, .08412584224, .09739641495, .1340503658, .1408108569, .1549126680, .2235759057, .2344502692, .2550506145, .2735740995, .3478777048, .4104243813, .4335992295, .4855318020, .5495528887, .6063862735, .6217577345, .6420653296, .6595012473, .6741982728, .6814076415, .7548695826, .7804227316, .8560694385, .8741669464, .8879748579, .8987248808, .9059502929, .9529224743, .9629177911, .9877856403] Podemos agora, calcular a soma de Riemann associada a esta partição do intervalo [0, 1], como se segue. > f:=x->x^3+3*x^2+2*x-5; f := x → x 3 + 3 x 2 + 2 x − 5 > S:=sum(f(part[2*j])*(part[2*j+1]-part[2*j-1]),j=1..15); S := −2.403062293 1. Repita este processo mais cinco vezes e guarde os resultados. Calcule a média das suas 6 tentativas e descreva como este processo forma uma soma de Riemann geral e como por meio dele se chega a uma aproximação do valor da integral da função no intervalo [0, 1]. Ilustre geometricamente. 2. Explique como é possível melhorar a precisão do resultado e aplique as suas conclusões para melhorar o resultado obtido acima. 3. Ache por este processo uma aproximação para a integral da função f(x) = x 3 + x + 2 no intervalo [0, 1]. 21.10.2 Somas de Riemann e funções monótonas O objetivo deste projeto é calcular integrais de funções monótonas por meio de somas de Riemann com um erro máximo prefixado. 1. Considere a função f(x) = x 3 + x + 2. (a) Mostre que f é monótona no intervalo [0, 2].
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