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294 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
7. (a) Dê exemplo de uma função contínua no intervalo (0, 1) tal que ∫ 1
f(x) dx não exista.
0
(b) Dê exemplo de uma função que não seja contínua em [0, 1], tal que exista ∫ 1
f(x) dx .
0
8. Mostre que se f é integrável em um intervalo fechado e se a, b e c são três números quaisquer deste intervalo,
então ∫ b
a f(x) dx = ∫ c
a f(x) dx + ∫ b
f(x) dx.
c
9. (a) Se f(x) ≤ M para todo x em [a, b], prove que ∫ b
f(x) dx ≤ M (b − a). Ilustre o resultado graficamente.
a
(b) Se m ≤ f(x) para todo x em [a, b], prove que m (b − a) ≤ ∫ b
f(x) dx. Ilustre o resultado graficamente.
a
(c) Mostre que se f e g são integráveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], então ∫ b
a g(x) dx ≤ ∫ b
f(x) dx.
a
(d) Seja f integrável em [a, b]. Mostre que ∫
b
f(x) dx ≤ ∫ b
|f(x)| dx
a
10. Seja f(x) = 1 + x 4 . Ache o valor médio de f no intervalo de 0 até 0,001, com dez casas decimais exatas.
Sugestão: A resposta deve ser dada rapidamente. Se você não consegue perceber como isto pode ser feito, calcule
a resposta usando força bruta. O número obtido sugere como os cálculos poderiam ter sido evitados.
11. Se f(x) = k para todo x em [a, b], prove que todo número c em [a, b] satisfaz a conclusão do teorema do valor
médio para integrais definidas. Interprete este resultado geometricamente.
12. Se f(x) = x e 0 < a < b, determine (sem integrar) um número c em (a,b) tal que ∫ b
f(x) dx = f(c) (b − a).
a
21.9 Um pouco de história
Parece que o primeiro a calcular a área exata de uma figura
limitada por curvas foi Hipócrates de Chios, o mais famoso
matemático grego do século V A.C.. Ele calculou a área da figura
em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta
figura, construída por dois círculos (o círculo centrado em (0, 0)
e raio unitário e o círculo centrado em (0, −1) e passando pelos
pontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lúnula de Hipócrates,
em homenagem àquele que descobriu que a sua área é igual à área
do quadrado cujo lado é o raio do círculo.
O problema da quadratura de um círculo, isto é, de achar um quadrado de área equivalente à de um círculo de raio
dado, é um dos problemas clássicos da Geometria a que muitos matemáticos dedicaram atenção, desde a Antiguidade.
Hipócrates “quadrou a lúnula”, embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do círculo.
Os geômetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema é construir a sua solução utilizando
somente uma régua não graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do círculo é impossível
de resolver utilizando-se apenas régua e compasso.
À primeira vista parece que o problema de calcular áreas é um assunto de interesse apenas para geômetras, sem
aplicações na vida prática fora da Matemática. Isto não é verdade. No transcorrer dos próximos capítulos, veremos
que muitos conceitos importantes de Física, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a força
total que age sobre uma barragem em virtude da pressão de água no reservatório, por exemplo, dependem das mesmas
idéias utilizadas neste capítulo para o cálculo de áreas.
21.10 Projetos
21.10.1 Somas de Riemann aleatórias
Uma soma de Riemann de uma função f definida em um intervalo [a, b] tem a forma geral
S = f(c1) (x2 − x1) + f(c2) (x3 − x2) + . . . + f(cn−1) (xn − xn−1) ,
onde a = x1 < x2 < .... < xn = b é uma partição do intervalo [a, b] e cada ci é tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi.
O objetivo deste projeto é calcular somas de Riemann para a função f(x) = x 3 + 3 x 2 + 2 x − 5, definidas por
meio de uma partição do intervalo [0, 1] em 15 partes, geradas aleatoriamente. Para obter números aleatórios, vamos
utilizar o comando rand() do Maple. Cada vez que este comando é executado, um número entre 1 e 10 12 é escolhido
ao acaso. Assim, a linha de comando abaixo gera uma seqüência de 31 = 2.15 + 1 números aleatórios, entre 1 e 10 12 .
Execute-o várias vezes!
a
0.5
0
–0.5
–1
–1.5
1
–2
x