Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

W.Bianchini, A.R.Santos 293
4. Interprete geometricamente e calcule a integral ∫ 2 √
4 − x2 dx.
−2
5. O gráfico da equação x2
a2 + y2
b2 = 1 para 0 < b < a é uma elipse. Esboce este gráfico e use o valor da integral
√
a2 − x2 dx para achar a área limitada por uma elipse.
∫ a
−a
6. Sabendo-se que o valor médio de y = f(x) no intervalo [0, 7] é igual a 4, qual o valor de ∫ 7
f(t) dt?
0
7. Ache o valor médio de f(x) = √ 1 − x 2 no intervalo [0, 1].
21.8 Problemas
1. Mostre que se f é uma função contínua e monótona em um intervalo [a, b], o erro na aproximação da ∫ b
f(x) dx
a
pela soma de Riemann inferior ou superior com n subintervalos é limitado por
| f(b) − f(a) | (b − a)
n
2. Para cada integral dada abaixo, seja ∫ b
f(x) dx = L. Levando-se em conta a definição de integral, dada neste
a
capítulo, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um inteiro positivo N tal que
(
n∑
)
f(ck) ∆ xk − L < ε ,
k=1
para todo n > N. Seja ∆ xk = b−a
n e ε = 0, 01. Considere ck como sendo a extremidade direita do k-ésimo subin-
tervalo da partição do intervalo [a, b] considerada. Ache o menor valor de n para o qual | ( ∑ n
k=1 f(ck) ∆ xk) − L | <
ε, para n > N.
(a)
∫ 3
1
x 2 + 1 dx (b)
∫ π
2
∫ π
6
0
cos(x) dx (c)
∫ π
2
0 cos2 x dx.
∫ 1,75
0,5
sen(x 2 ) dx
3. (a) Mostre que 0 sen2 x dx =
Sugestão: Mostre que as duas áreas em questão são congruentes usando uma reflexão em torno da reta
x = π
4 .
(b) Mostre que
∫ π
2
0 1 − sen2 x dx = π
2
− ∫ π
2
0 sen2 x dx.
Sugestão: Use a interpretação geométrica das duas integrais e use uma reflexão em torno da reta y = 1
2
para mostrar que as duas áreas em questão são iguais.
(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que
(d) Calcule ∫ π
0 sen2 x dx e ∫ 2 π
0 cos 2 x dx.
4. Obtenha uma fórmula para ∫ x
| t | dt, válida para
0
(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0
(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.
∫ π
2
0 sen2 x dx =
∫ π
2
0 cos2 x dx = π
4 .
(d) Esboce um gráfico que represente geometricamente esta questão.
{
−1 , se t < 0
5. Considere a função sn(t) (sinal de t ) definida por sn(t) = 0 , se t = 0 .
1 , se 0 < t
É claro que a função sn(t) não é contínua em zero, mas ∫ b
sn(t) dt pode ser definida da mesma maneira que
a
para funções contínuas. Por exemplo, ∫ 1
sn(t) dt, é a área limitada pelo gráfico da função, pelo eixo x e pelas
0
retas t = 0 e t = 1 (um quadrado de lado 1). Assim, ∫ 1
0 sn(t) dt = 1. Da mesma maneira, ∫ 0
sn(t) dt = −1;
−1 ∫ 3
0 sn(t) dt = 3; ∫ 3
−3 sn(t) dt = 0 e, assim por diante. Obtenha uma fórmula válida para ∫ x
sn(t) dt quando
0
(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0
(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.
6. Explique por que
(a) ∫ 1
−1 x273 dx = 0 (b) 0 < ∫ 3 1 14
1 t dt < 12