Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

W.Bianchini, A.R.Santos 291
De um modo geral, define-se o valor médio de uma função y = f(x), contínua em um intervalo [a, b], como
fm = 1
b − a
∫ b
a
f(x) dx
ou ∫ b
f(x) dx = fm (b − a) .
a
Se f(x) ≥ 0 em [a, b], esta última igualdade significa, geometricamente, que a área sob o gráfico de f, desde a até
b, é igual à área de um retângulo de altura fm e base b-a.
Exemplo
Se a temperatura de uma barra de comprimento 3 cm é dada por T (x) = x, em cada ponto x da barra, calcule a
sua temperatura média.
Solução:
Tm = 1
3
∫ 3
0
x dx = 3
2
No gráfico a seguir a área hachurada tem o mesmo valor da área do retângulo escuro.
Tm
4
3
2
1
0
1 2 3
x
Note que o valor Tm é atingido em algum ponto c de [a, b]. Neste exemplo, precisamente em c = 3
2 . O teorema do
valor médio para integrais definidas, que veremos a seguir, garante que, se f é contínua, isto é sempre verdade.
21.5.1 O teorema do valor médio para integrais definidas
Teorema
Se f é contínua em um intervalo fechado [a, b], então existe um número c no intervalo aberto (a, b), tal que
∫ b
a
f(x) dx = f(c)(b − a)
Observações Se f(x) ≥ 0 em [a, b], o teorema admite uma interpretação geométrica interessante. Neste caso,
como já vimos, S = ∫ b
f(x) dx é a área limitada pelo gráfico de f, o eixo x e as retas x = a e x = b. O teorema
a
garante a existência de um número c, abscissa de um ponto P do gráfico de f, tal que a área da região retangular
limitada pela reta horizontal que passa por P , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, dada pela expressão, f(c) (b − a),
é igual a S. Veja as figuras.
4.4
4.3
4.2
4.1
4
3.9
3.8
3.7
3.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
O número c não é necessariamente único. Por exemplo, se f é uma função constante, todos os números c do
intervalo [a, b] satisfazem a conclusão do teorema. O teorema garante a existência de pelo menos um número c em
[a, b] com a propriedade enunciada.
Demonstração Sejam m = f(d) o mínimo de f em [a, b] e M = f(e) o máximo de f em [a, b]. Pela Propriedade 6,
∫ b
a
m dx ≤
∫ b
a
f(x) dx e
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
z
M dx,