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290 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
Esta propriedade pode ser generalizada para o caso em que c não está necessariamente entre a e b. (Veja Problema
8 ).
Propriedade 5
Se f é integrável em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então
0 ≤
∫ b
a
f(x) dx
Demonstração Seja I = ∫ b
f(x) dx e suponhamos por absurdo que I < 0.
a
n∑
Seja P uma partição de [a, b] e seja RP = f(ci) ∆ xi, uma soma de Riemann qualquer, associada a P . Como,
i=1
por hipótese, f(ci) ≥ 0, para todo ci no intervalo [xi−1, xi], temos que RP ≥ 0.
Seja ε = − I
2 > 0, então, como f é integrável em [a, b], desde que ||P || seja suficientemente pequena, temos que
| RP − I | < ε = − I
2 . Daí, RP < I − I I
2 = 2 < 0, o que é uma contradição. Portanto, a suposição I < 0 é falsa, e temos
que I ≥ 0.
Uma conseqüência imediata desta propriedade é expressa na propriedade a seguir, cuja demonstração é deixada a
cargo do leitor. (Veja Problema 9.)
Propriedade 6
Se f e g são integráveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], então
∫ b
a
g(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx .
21.5 Valor médio de uma função e o teorema do valor médio para integrais
definidas
A média aritmética de n números a1, a2, ... , an é definida por:
am = (a1 + a2 + . . . + an)
n
Agora, pense no seguinte problema:
Suponha que você tenha uma barra de ferro de comprimento L e conhece a temperatura T (x), que varia em cada
ponto x da barra. Como calcular a temperatura média Tm da barra?
A dificuldade, neste caso, é que existem infinitos pontos na barra a serem considerados. A idéia é estabelecer um
sistema de coordenadas na barra, de tal modo que as suas extremidades coincidam com os pontos 0 e L deste sistema
e aproximar a temperatura média pela média das temperaturas de n pontos da barra, a saber,
0 = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = L
tomados como referência, isto é,
Tm ≈ 1
n
n∑
T (xi)
i=1
Claramente, à medida que aumentamos o número n de pontos considerados neste cálculo, o valor do lado direito
da expressão anterior se aproximará cada vez mais da temperatura média Tm da barra.
Observe, agora, que a soma anterior é muito parecida com a soma de Riemann para a função T (x). Para transformar
esta expressão na soma de Riemann para a função T , basta multiplicar e dividir, a soma obtida por ∆ x = L
n . Assim,
temos
= 1
n
(
n∑
)
1 1
T (xi) ∆ x =
n ∆ x
1
(
n∑
)
n
T (xi)
n L
i=1
i=1
n∑
i=1
ai
∆ x = 1
L
n∑
T (xi) ∆ x
Agora sim! O último somatório é a soma de Riemann para a função T no intervalo [0, L]. Assim,
Tm = 1
L lim
n→∞
n∑
i=1
T (xi) ∆ x = 1
L
∫ L
0
i=1
T (x) dx