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288 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
a conclusão se verifica imediatamente, pois, como f é integrável, tem-se que, qualquer que seja ε1 >0, existe um δ >
0 tal que, se ||P || < δ, então | ( ∑
f(ci) ∆ xi) − I | < ε1.
Assim, basta escolhermos ε1 = ε
|k|
i
para obter o resultado desejado.
Costuma-se enunciar a conclusão desta propriedade dizendo-se que constantes “podem ser retiradas do sinal de
integral”.
Propriedade 3
Se f e g são integráveis em [a, b], então f + g é integrável em [a, b] e
∫ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
∫ b
f(x) dx + g(x) dx .
a
Demonstração Por hipótese, existem números reais I1 e I2, tais que ∫ b
a f(x) dx = I1 e ∫ b
g(x) dx = I2.
a
Seja P uma partição de [a, b] e seja Rp uma soma de Riemann arbitrária para f + g associada à partição P , isto é,
n∑
n∑
n∑
Rp = (f(ci) + g(ci)) ∆ xi = ( f(ci) ∆ xi) + ( g(ci) ∆ xi) ,
i=1
i=1
onde ci está em [xi−1, xi] para cada i.
Seja ε > 0. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se ||P || < δ, então |Rp − (I1 + I2)| < ε .
Por hipótese (f e g integráveis), sabemos que qualquer que seja ε1> 0, existem δ1 e δ2 positivos tais que, se ||P ||
< δ1 e ||P || < δ2, então
(
)
∑
f(ci) ∆ xi − I1
< ε1
(
)
∑
e g(ci) ∆ xi − I2
< ε1 ,
i
Seja ε1 = ε
2 e seja δ o menor dos números δ1 e δ2. Assim, se ||P || < δ, as duas desigualdades acima se verificam, e
daí, como
|Rp − (I1 + I2)| =
≤
(
) ( )
∑
∑
f(ci) ∆ xi − I1 + g(ci) ∆ xi − I2
i
i
(
)
∑
f(ci) ∆ xi − I1
+
(
)
∑
g(ci) ∆ xi − I2
tem-se |Rp − (I1 + I2)| < ε ε
2 + 2
Observações
i
i
i
i=1
= ε, que é o resultado que queríamos demonstrar.
1. Vale um resultado análogo para diferenças, isto é, se f e g são integráveis em [a,b], tem-se
∫ b
a
(f(x) − g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx −
∫ b
a
g(x) dx
2. A Propriedade 3 pode ser estendida a uma soma finita de funções. Especificamente, se f1, f2, . . . , fn são integráveis
em [a, b], sua soma g = f1 + f2 + . . . + fn também o é e
∫ b
a
g(x) dx =
∫ b
a
f1(x) dx +
∫ b
a
f2(x) dx + ... +
∫ b
a
fn(x) dx .
3. Se f e g são funções integráveis em [a, b] e se k1 e k2 são reais arbitrários, pelas Propriedades 2 e 3 temos que
∫ b
a
(k1 f(x) + k2 g(x)) dx = k1
∫ b
a
f(x) dx + k2
∫ b
a
g(x) dx .
Além disso, se k1, k2,..., kn são reais arbitrários e se f1, f2, . . . , fn são funções integráveis em [a, b], o resultado
análogo vale para a função g = k1 f1 + k2 f2 + . . . + kn fn.