Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...

W.Bianchini, A.R.Santos 287
21.4.3 Propriedades da integral definida
0.8
0.6
0.4
0.2
–3 –2 –1 1 x 2 3
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
A partir da definição de integrais como limite de somas de Riemann podemos demonstrar algumas de suas propriedades
fundamentais.
Propriedade 1
Se f é uma função constante definida por f(x) = k, para todo x em [a, b], então f é integrável e
∫ b
a
1
–1
k dx = k (b − a) .
Demonstração Seja P uma partição de [a, b]. Então, para toda soma de Riemann de f,
n∑
n∑
n∑
f(ci) ∆ xi = k ∆ xi = k ( ∆ xi) = k (b − a) ,
i=1
i=1
pois a soma dos comprimentos de todos os subintervalos da partição é o comprimento do intervalo [a,b], independente
do valor de n. Conseqüentemente,
isto é,
lim
∆ xi→0
n=1
n∑
f(ci) ∆ xi = k (b − a) ,
i=1
∫ b
a
k dx = k (b − a) .
Esta igualdade está de acordo com a discussão de área feita anteriormente, pois se k > 0, então o gráfico de f é
uma reta horizontal k unidades acima do eixo dos x, e a região limitada por esta reta, pelo eixo x e pelas retas x =
a e x = b é um retângulo de lados k e (b − a). Logo, sua área é dada por k (b − a). No caso especial em que k = 1,
temos que ∫ b
1 dx = b − a, que é igual ao comprimento do intervalo [a, b].
a
Propriedade 2
Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então kf é integrável em [a, b] e
∫ b
a
k f(x) dx = k
∫ b
a
f(x) dx .
Demonstração Se k = 0, o resultado se verifica trivialmente. Suponhamos, então, que k ̸= 0. Como f é integrável,
temos que existe um número I tal que I = ∫ b
f(x) dx.
a
n∑
Seja P uma partição de [a, b]. Então, toda soma de Riemann para a função k f tem a forma k f(ci) ∆ xi, onde
para cada i, ci está no subintervalo [xi−1, xi]. Seja ε > 0 dado. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se
||P || < δ, então | ( ∑
i k f(ci) ∆ xi) − k I | < ε, para todo ci em [xi−1, xi].
Se observarmos que (
∑
i
) ( )
∑
k f(ci) ∆ xi − k I = | k | f(ci ∆ xi) − I
,
i
i=1