Cap´ıtulo 21 Introduç˜ao `a Integral: Cálculo de´Areas e Integrais ...
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Capítulo <strong>21</strong><br />
Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e<br />
<strong>Integrais</strong> Definidas<br />
<strong>21</strong>.1 Introdução<br />
Os dois conceitos principais do cálculo são desenvolvidos a partir de idéias geométricas relativas a curvas. A derivada<br />
provém da construção das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos próximos capítulos, a integral, tem<br />
origem no cálculo de área de uma região curva.<br />
Como vimos no início deste livro, o problema de calcular áreas já despertava, por suas aplicações práticas, grande<br />
interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de várias fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas serem<br />
conhecidas desde esta época, e até mesmo problemas do cálculo de áreas de regiões limitadas por segmentos de retas<br />
e algumas curvas, como a parábola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, até o século XVII,<br />
quando foram estabelecidos os fundamentos do <strong>Cálculo</strong> Diferencial e <strong>Integral</strong> como uma teoria matemática digna de<br />
crédito, não se conhecia nenhuma fórmula ou método geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular<br />
áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer.<br />
Nos meados do século XVII, vários estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seus<br />
trabalhos o método da exaustão, empregado por Arquimedes no cálculo de áreas de segmentos parabólicos (veja o<br />
projeto Arquimedes e a Quadratura da Parábola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este método estava<br />
relacionado com o <strong>Cálculo</strong> Diferencial. Este importante resultado é denominado teorema fundamental do cálculo e é<br />
um dos resultados mais importantes de toda a matemática.<br />
Como vimos, a derivada tem aplicações que transcendem a sua origem geométrica. Nos próximos capítulos, veremos<br />
que o mesmo acontece com a integral.<br />
A fim de tornar clara a discussão sobre áreas, vamos introduzir na próxima seção uma notação matemática padrão<br />
usada para abreviar somas que envolvem um número muito grande de parcelas.<br />
<strong>21</strong>.2 A notação de somatório: uma abreviação para somas<br />
As somas dos n primeiros termos de uma uma progressão geométrica (PG) de razão r, bem como de uma progressão<br />
aritmética (PA) de razão d, podem ser escritas, respectivamente como:<br />
Sn = a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar (n−1)<br />
Tn = a + (a + d) + (a + 2 d) + . . . + (a + (n − 1) d)<br />
Existe uma notação abreviada para escrever somas desse tipo, que além de tornar mais fácil escrevê-las, facilita<br />
enormemente várias manipulações algébricas. Considere, por exemplo, a soma Sn = a1 + a2 + a3 +.... + an. Podemos<br />
escrevê-la usando a notação abaixo:<br />
n∑<br />
Sn =<br />
(Lê-se: somatório de ai para i variando de 1 até n.) Essa notação significa que devemos substituir todos os valores<br />
inteiros de i, de 1 até n, na expressão envolvendo i, no caso ai, que segue o sinal de somatório Σ e então adicionar os<br />
resultados.<br />
Note que a fórmula depois do sinal de somatório fornece o i-ésimo termo da soma; para i = 1 temos o primeiro,<br />
para i = 2 o segundo e, assim por diante. Assim, as somas acima das progressões geométrica e aritmética podem ser<br />
reescritas como<br />
n∑<br />
Sn = ar (i−1)<br />
n−1 ∑<br />
e Tn = (a + id)<br />
i=1<br />
i=1<br />
ai<br />
i=0
278 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
Uma soma infinita de termos pode ser representada assim<br />
a1 + a2 + a3 + . . . =<br />
Logo, a soma dos termos de uma PG infinita de razão r é assim representada<br />
∞∑<br />
i=1<br />
a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar (n−1) + . . . =<br />
∞∑<br />
ar (i−1)<br />
Exemplo 1 Considere a soma Rn = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 . Usando a notação de somatório, podemos escrever<br />
n∑<br />
Rn = i 2 .<br />
i=1<br />
Exemplo 2 Considere a soma<br />
Exercícios<br />
i=1<br />
5∑<br />
(i 2 − 1). Escrevendo por extenso essa soma, obtemos:<br />
i=2<br />
1. Converta cada uma das somas indicadas em notação de somatório:<br />
(a) 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 + (n + 1) 2<br />
(b) 3 2 + 4 2 + . . . + k 2<br />
2. Escreva por extenso cada uma das somas abaixo :<br />
5∑<br />
(a) (bi + 2 ci) (b)<br />
n∑<br />
i 7<br />
i=3<br />
i=m<br />
5∑<br />
(i 2 − 1) = 2 2 − 1 + 3 2 − 1 + 4 2<br />
i=2<br />
(c) k 2 + (k + 1) 2 + (k + 2) 2 + . . . + (n − 1) 2<br />
(d) 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − . . .<br />
3. Com a expressão 0, 99999 . . . queremos representar a soma 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . .. Escreva essa soma usando<br />
a notação de somatório.<br />
4.<br />
É verdade que:<br />
(a)<br />
(b)<br />
n∑<br />
n∑<br />
kai = k ( ai)? Justifique sua resposta.<br />
i=1<br />
n∑<br />
i=1<br />
i=1<br />
( hi h h3<br />
)2 =<br />
n n n3 n∑<br />
i 2 ? Justifique sua resposta.<br />
i=1<br />
<strong>21</strong>.3 O cálculo de áreas como limites<br />
Em geral, a definição formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes dificuldades. Por exemplo, tivemos grandes<br />
dificuldades ao tentarmos formalizar uma definição para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. A<br />
formalização do conceito de área apresenta dificuldades semelhantes.<br />
Em geometria elementar, são deduzidas fórmulas para áreas de muitas figuras planas, mas se pararmos para<br />
pensar um pouco, chegaremos à conclusão de que uma definição, matematicamente aceitável de área, raramente nos<br />
é fornecida.<br />
A área de uma região é definida, às vezes, como o número de quadrados de lados de comprimento um que “cabem”<br />
numa dada região. Desse modo, obtivemos fórmulas para áreas de figuras planas tais como quadrados, retângulos,<br />
triângulos, trapézios, etc. Basta, no entanto que a região seja um pouco mais complicada para que esta definição<br />
se mostre inadequada. Como poderíamos calcular, por exemplo, o número de quadrados de lado 1, ou 1 1<br />
2 , ou 4 , que<br />
cabem em um círculo unitário?<br />
Neste capítulo, tentaremos definir áreas de regiões com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho se<br />
concentrará num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a área de uma região<br />
limitada pelo gráfico de uma função y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra a<br />
figura para a função y = x2 .
W.Bianchini, A.R.Santos 279<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0.20.40.60.8 1 1.<strong>21</strong>.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3<br />
x<br />
O conhecimento de um método de resolução deste problema particular é suficiente para tratar regiões mais complicadas.<br />
O cálculo da área de uma região cuja fronteira seja uma curva pode, com freqüência, ser reduzido a este<br />
problema mais simples.<br />
No Cap. 3 vimos que soluções aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindo-se o intervalo [0, 1] em<br />
subintervalos e calculando-se a soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos à figura, como é mostrado a<br />
seguir.<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0.20.40.60.8 1 1.<strong>21</strong>.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3<br />
x<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0.20.40.60.8 1 1.<strong>21</strong>.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3<br />
x<br />
À medida em que aumentamos o número de subdivisões do intervalo e, conseqüentemente, o número de retângulos<br />
considerados, a soma das áreas desses retângulos se aproxima cada vez mais da área da região dada. Veja esta afirmação<br />
ilustrada na figura seguinte à esquerda, onde consideramos retângulos inscritos. Observe, também, a figura à direita,<br />
considerando retângulos circunscritos. (Execute na versão eletrônica as animações correspondentes.)<br />
1.851851852<br />
x<br />
2.122448981<br />
x<br />
2.198347107<br />
x<br />
1.968750000<br />
x<br />
2.148437500<br />
x<br />
2.209490741<br />
x<br />
2.040000000<br />
x<br />
2.168724280<br />
x<br />
2.<strong>21</strong>8934911<br />
x<br />
2.087962964<br />
x<br />
2.185000000<br />
x<br />
2.227040816<br />
x<br />
2.851851852<br />
2.551020409<br />
x<br />
2.471074380<br />
x<br />
2.718750000<br />
x<br />
2.523437500<br />
x<br />
2.459490741<br />
x<br />
2.640000000<br />
x<br />
2.502057613<br />
x<br />
2.449704142<br />
x<br />
2.587962964<br />
x<br />
2.485000000<br />
x<br />
2.441326531<br />
No primeiro caso, a estimativa obtida para a área da região é menor do que o seu valor exato; no segundo, maior.<br />
Assim, podemos afirmar que o valor exato da área está entre os dois valores obtidos usando-se as aproximações acima.<br />
Desta maneira, o erro cometido é menor do que a diferença entre estes dois valores.<br />
Vamos provar que, à medida que aumenta o número n de retângulos considerados nestes cálculos, o erro diminui,<br />
e tanto a soma das áreas dos retângulos inscritos quanto a soma das áreas dos retângulos circunscritos se aproximam<br />
de um mesmo valor. Definiremos, então, a área da região dada como sendo igual ao valor deste limite único.<br />
Vamos executar passo a passo o procedimento descrito acima para entender como o método funciona e obter um<br />
valor aproximado para a área da região limitada pela função f(x) = x 2 , pelas retas x = 1 e x = 2 e pelo eixo x.<br />
Primeiro dividimos o intervalo [1, 2] em n partes. Assim, temos que<br />
{1= xo < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = 2} .<br />
Em matemática, uma divisão deste tipo é chamada de partição do intervalo [1, 2]. No nosso caso, vamos considerar<br />
uma partição ou divisão do intervalo dado em n partes iguais. Deste modo, os comprimentos dos subintervalos da<br />
forma [xi−1, xi], para 1 ≤ i ≤ n, são iguais e a partição do intervalo é dita regular. Usaremos o símbolo ∆ x para<br />
denotar este comprimento, isto é,<br />
∆ x = x1 − x0 = x2 − x1 = x3 − x2 = . . . = xi − xi−1 = . . . = xn − xn−1 =<br />
x<br />
2 − 1<br />
n<br />
x<br />
= 1<br />
n .
280 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
A soma das áreas dos retângulos inscritos, chamada soma inferior, será dada por:<br />
SI = f(c0) ∆ x + f(c1) ∆ x + . . . + f(cn−1) ∆ x =<br />
n−1 ∑<br />
i=0<br />
f(ci) ∆ x<br />
onde f(ci) é o menor valor da função f em cada subintervalo [xi−1, xi]. No exemplo que estamos estudando, este<br />
valor ocorre em xi, extremo inferior de cada subintervalo, portanto, a soma inferior será dada por<br />
SI = f(x0) ∆ x + f(x1) ∆ x + . . . + f(xn−1) ∆ x =<br />
n−1 ∑<br />
i=0<br />
f(xi) ∆ x<br />
A soma das áreas dos retângulos circunscritos, chamada soma superior, será obtida calculando-se:<br />
SS = f(w1) ∆ x + . . . + f(wn) ∆ x =<br />
n∑<br />
f(wi) ∆ x<br />
onde f(wi) é o maior valor da função f no intervalo [xi−1, xi]. No nosso exemplo, este valor extremo ocorre em xi,<br />
que é o extremo superior de cada um dos subintervalos considerados. Neste caso particular, portanto, a soma superior<br />
será dada por<br />
n∑<br />
SS = f(x1) ∆ x + . . . + f(xn) ∆ x = f(xi) ∆ x<br />
Assim,<br />
SI ≤ área da figura ≤ SS<br />
Para obtermos estimativas para a área da figura dada, nossa tarefa se reduz agora, a calcular os valores de SI e<br />
SS. Do modo como foi definida a partição, temos que:<br />
x1 = 1 + 1<br />
n ; x2 = x1 + 1 2<br />
= 1 +<br />
n n ; x3 = 1 + 3<br />
n ; ...; xn = 1 + n<br />
= 2 .<br />
n<br />
Lembrando que neste exemplo particular, f(x) = x 2 , o valor da soma inferior será dado por:<br />
SI :=<br />
n−1 ∑<br />
i=0<br />
(1 + i<br />
n )2<br />
n<br />
Veja o diagrama a seguir, onde foram construídos retângulos inscritos para n = 3, 5, 8, 11, 14, e 17, sucessivamente.<br />
Lembre-se de que o valor de n define o número de subintervalos e, conseqüentemente, de retângulos determinados pela<br />
partição.<br />
Raciocinando da mesma maneira, para a soma superior obtemos a seguinte expressão<br />
n∑ (1 +<br />
SS :=<br />
i<br />
n )2<br />
n<br />
i=1<br />
que fornece o valor da soma das áreas de n retângulos circunscritos à figura.<br />
Nesse ponto, vamos usar o Maple para mostrar que à medida em que n cresce, a diferença entre SS e SI tende<br />
a zero e a soma das áreas, quer dos retângulos inscritos, quer dos retângulos circunscritos, converge para o mesmo<br />
limite.<br />
Para isso, primeiro definimos a função f e o valor de ∆ x<br />
i=1<br />
i=1
W.Bianchini, A.R.Santos 281<br />
> f:=x->x^2;<br />
> Delta_x:=1/n;<br />
f := x → x 2<br />
Delta x := 1<br />
n<br />
A seguir, usamos o comando sum para calcular o valor de SI e de SS e o comando simplify para simplificar as<br />
expressões obtidas<br />
> SI:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=0..n-1)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i<br />
> =0..n-1);<br />
> simplify(SI);<br />
SI :=<br />
n−1 ∑<br />
i=0<br />
∑<br />
1<br />
n3 n−1<br />
i=0<br />
(1 + i<br />
n )2<br />
=<br />
n<br />
7 3<br />
−<br />
3 2<br />
1 1<br />
+<br />
n 6<br />
(n + i) 2 = 1 14 n<br />
6<br />
2 − 9 n + 1<br />
n2 > SS:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1..n)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1<br />
> ..n);<br />
SS :=<br />
n∑<br />
i=1<br />
> simplify(SS);<br />
(1 + i<br />
n )2<br />
=<br />
n<br />
n + 1 (n + 1)2<br />
+<br />
n n2 −<br />
1<br />
n3 n∑<br />
i=1<br />
1<br />
n 2<br />
n + 1 1 (n + 1)<br />
+<br />
n2 3<br />
3<br />
n3 − 1 (n + 1)<br />
2<br />
2<br />
n3 + 1<br />
6<br />
(n + i) 2 = 1 14 n<br />
6<br />
2 + 9 n + 1<br />
n2 n + 1 1<br />
−<br />
n3 n<br />
• Você é capaz de provar que as fórmulas obtidas acima para SI e SS são verdadeiras? (Veja o projeto O Maple e o<br />
princípio da indução matemática.)<br />
Calculando a diferença SS − SI,<br />
> Erro:=SS-SI;<br />
Erro :=<br />
n + 1<br />
n<br />
> simplify(Erro);<br />
+ (n + 1)2<br />
n 2<br />
−<br />
n + 1 1 (n + 1)<br />
+<br />
n2 3<br />
3<br />
n3 − 1 (n + 1)<br />
2<br />
2<br />
n3 + 1<br />
6<br />
3 1<br />
n<br />
n + 1 1<br />
+<br />
n3 2<br />
1 7 1<br />
− −<br />
n 3 6<br />
verificamos facilmente que esta expressão tende a zero, quando n → ∞ e, conseqüentemente, SI e SS convergem para<br />
o mesmo valor, neste caso 7<br />
7<br />
3 . (Examine as expressões de SI e SS e comprove que realmente lim SI = lim SS =<br />
n→∞ n→∞ 3 .)<br />
No exemplo estudado, a função f é crescente e, geometricamente, podemos ver que o valor da diferença SS − SI<br />
é dada por<br />
( f(x1) − f(x0) + f(x2) − f(x1) + ... + f(xn−1) + f(xn)) ∆ x = f(2)−f(1)<br />
n .<br />
Esta última expressão torna fácil verificar que, para funções crescentes (ou decrescentes!), quando n → ∞, o erro<br />
cometido na aproximação por somas superiores ou inferiores realmente tende a zero (Veja problema 1).<br />
Podemos repetir o processo acima, considerando retângulos cuja altura seja o valor da função em qualquer ponto<br />
do subintervalo [xi−1, xi], por exemplo, o ponto médio de cada subintervalo. (Veja a figura abaixo.)<br />
1<br />
n 2
282 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
2.324074074<br />
2.331018519 2.331632654<br />
2.332304526<br />
2.328125000 2.330000000<br />
2.332500000<br />
2.332031250<br />
2.332644628<br />
A soma das áreas dos retângulos assim construídos converge para o mesmo limite anterior, como mostramos a<br />
seguir.<br />
Considere a soma, SM, das áreas dos retângulos cujas alturas são o valor da função f, calculada no ponto médio<br />
de cada subintervalo [xi−1, xi], isto é, no ponto 1 + . Com a ajuda do Maple, obtemos<br />
SM :=<br />
n−1 ∑<br />
i=0<br />
i ∆ x<br />
2<br />
(1 + i 1<br />
+<br />
n 2<br />
n<br />
1<br />
n )2<br />
= 7 1<br />
−<br />
3 12<br />
(Para provar a fórmula acima veja o projeto O Maple e o princípio da indução matemática.)<br />
Calculando o limite desta expressão quando n → ∞, temos<br />
lim<br />
n→∞<br />
7 1<br />
−<br />
3 12<br />
1 7<br />
=<br />
n2 3 .<br />
Destes cálculos, podemos concluir que, à medida em que n aumenta, quaisquer das somas acima tende a um mesmo<br />
número, que será o valor da área da região considerada.<br />
Note que a partição do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade de que à medida que n cresce o valor de<br />
∆ x tende a zero. Esta propriedade é fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a área da região.<br />
Considere, por exemplo, a seguinte partição em 20 partes (n = 20) do intervalo [ 1, 2 ]:<br />
> particao:=[seq(2-1/i,i=1..n)];<br />
particao := [1, 3 5 7 9 11 13 15 17 19 <strong>21</strong> 23 25 27 29 31 33 35 37 39<br />
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , 2]<br />
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20<br />
O diagrama ilustra o que pode acontecer para várias partições deste tipo (n = 3, 5, 8 e 11, respectivamente):<br />
4.<br />
3.<br />
2.<br />
1.<br />
0<br />
4.<br />
3.<br />
2.<br />
1.<br />
0<br />
1.106481481<br />
.5<br />
1.367606481<br />
1.558049983 1.658122331<br />
.5<br />
1.<br />
1.<br />
1.5<br />
1.5<br />
2.<br />
2.<br />
Observe que, neste caso,mesmo considerando valores de n cada vez maiores, a soma das áreas dos retângulos<br />
inscritos, jamais se aproximará da área da região em questão. Como mostra este exemplo, o importante não é a<br />
divisão em partes iguais, mas o fato do comprimento de cada um dos subintervalos [xi, xi+1] tender a zero à medida<br />
que se aumenta o número de divisões do intervalo.<br />
Chegamos, assim, à seguinte definição:<br />
Definição<br />
Considere a região limitada pelo gráfico de uma função contínua e positiva y = f(x), pelas retas verticais x = a e<br />
x = b e pelo eixo x. Considere uma partição do intervalo [a, b]<br />
4.<br />
3.<br />
2.<br />
1.<br />
0<br />
4.<br />
3.<br />
2.<br />
1.<br />
0<br />
.5<br />
.5<br />
1.<br />
1.<br />
1.5<br />
1.5<br />
1<br />
n 2<br />
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b ,<br />
2.<br />
2.
W.Bianchini, A.R.Santos 283<br />
tal que, para todo i, ∆ xi → 0 quando n → ∞, onde ∆ xi = xi − xi−1 é o comprimento de cada subintervalo da<br />
partição. Então, a área da região é dada por<br />
onde ci é um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi].<br />
n−1 ∑<br />
lim f(ci) ∆ x<br />
n→∞<br />
i=0<br />
Vamos ilustrar esta definição com outro exemplo. Considere a função g(x) = sen(x), para x no intervalo [0, π] .<br />
Queremos calcular a área hachurada mostrada na figura:<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
y<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0.5 1 1.5 2 2.5 3<br />
x<br />
Primeiro dividimos o intervalo [0, π] em n partes iguais. Neste caso, ∆ x = π<br />
n . Considerando retângulos cujas<br />
alturas são iguais ao valor da função na extremidade xi−1 de cada subintervalo [xi−1, xi], obtemos as seguintes<br />
aproximações para a área, quando dividimos o intervalo [0, π] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:<br />
1.813799365<br />
1.954097234<br />
1.896118898<br />
1.933765598<br />
1.966316679 1.974231603<br />
Considerando retângulos cujas alturas são o valor da função na extremidade xi de cada subintervalo [xi−1, xi],<br />
obtemos as aproximações mostradas na figura, à esquerda. Da mesma maneira, tomando retângulos cujas alturas são<br />
o valor da função no ponto médio de cada subintervalo [xi, xi+1], obtemos as aproximações mostradas na figura à<br />
direita.<br />
1.813799365 1.896118898 1.933765598<br />
1.954097234<br />
1.966316679<br />
1.974231603<br />
2.094395102<br />
2.023030320<br />
2.052344307<br />
2.016884178<br />
2.033281478<br />
2.012909086<br />
As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a área procurada deve ser igual a 2. Vamos usar o<br />
Maple para calcular as somas que aparecem nos três casos considerados e calcular o seu limite quando o número<br />
de retângulos cresce sem limite (tende a infinito). Seja SN1 a soma das áreas dos retângulos cujas alturas são as<br />
extremidades inferiores dos subintervalos. Assim,<br />
SN1 :=<br />
π<br />
( n−1<br />
∑<br />
i=0<br />
i π<br />
sen(<br />
n )<br />
)<br />
n
284 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
Simplificando a soma acima obtém-se:<br />
(<br />
n−1 ∑ i π<br />
π sen(<br />
n<br />
i=0<br />
)<br />
)<br />
sen(<br />
= −<br />
n<br />
π<br />
n )<br />
n (cos( π<br />
) − 1)<br />
n<br />
Calculando o limite desta expressão, quando n → ∞, tem-se que<br />
i π<br />
n−1 ∑ sin( ) π<br />
lim n = 2<br />
n→∞ n<br />
i=0<br />
Da mesma maneira, considerando-se retângulos cujas alturas são o valor da função na extremidade xi1 de cada<br />
subintervalo [xi−1, xi], obtém-se:<br />
(<br />
n∑<br />
i π<br />
π sen(<br />
n<br />
i=1<br />
)<br />
)<br />
π sen(<br />
= −<br />
n<br />
π<br />
n )<br />
n (cos( π<br />
) − 1)<br />
n<br />
e<br />
(<br />
n∑<br />
i π<br />
π sin(<br />
n<br />
i=1<br />
lim<br />
n→∞<br />
)<br />
)<br />
= 2<br />
n<br />
Considerando retângulos cujas alturas são o valor da função no ponto médio de cada subintervalo [xi−1, xi], temos<br />
também<br />
⎛ ⎛<br />
n−1<br />
⎜∑<br />
(i +<br />
⎜<br />
π ⎝ sen ⎝<br />
i=0<br />
1<br />
⎞⎞<br />
) π<br />
2 ⎟⎟<br />
⎠⎠<br />
n<br />
π sen(<br />
= −<br />
n<br />
π<br />
n )<br />
n (cos( π<br />
) − 1)<br />
n<br />
e<br />
⎛ ⎛<br />
n−1<br />
⎜∑<br />
(i +<br />
⎜<br />
π ⎝ sen ⎝<br />
1<br />
⎞⎞<br />
) π<br />
2 ⎟⎟<br />
⎠⎠<br />
n<br />
lim<br />
n→∞<br />
i=0<br />
n<br />
O valor do limite será o mesmo para qualquer soma do tipo ∑<br />
f(ci) ∆ xi escolhida, onde ci ∈ [xi−1, xi]. Este<br />
limite único é, por definição, a área da região R limitada pelo gráfico de uma função f contínua e positiva, pelo eixo<br />
x e pelas retas x = a e x = b.<br />
<strong>21</strong>.4 A <strong>Integral</strong> Definida<br />
<strong>21</strong>.4.1 Definição<br />
Vimos na seção anterior como calcular a área A de uma região limitada por uma função positiva, pelas retas x = a,<br />
x = b e pelo eixo x. O que fizemos foi dividir o intervalo fechado [a, b] em n partes iguais e aproximar o valor da área<br />
n∑<br />
por somas do tipo f(ci) ∆ x. Vimos que, à medida que n cresce, o valor da soma se aproxima do valor de A. Esta<br />
i=1<br />
definição para áreas de regiões motiva a extensão deste procedimento a outras funções que não sejam necessariamente<br />
positivas. Deste modo, vamos definir o que chamamos de integral de uma função f, onde f é uma função qualquer<br />
definida em um intervalo fechado [a, b]. Para isso, considere uma divisão do intervalo [a, b], em n partes<br />
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < ... < xn−1 < xn = b .<br />
Esta divisão, como já vimos, define uma partição do intervalo a, b], que chamaremos de P . Seja ∆ xi = xi − xi−1,<br />
tal que, para todo i, ∆ xi → 0 quando n → +∞. Formemos a soma<br />
i<br />
= 2
W.Bianchini, A.R.Santos 285<br />
Sn =<br />
n∑<br />
f(ci) ∆ xi,<br />
i=1<br />
onde ci é um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Esta soma é chamada soma de Riemann para f associada à<br />
partição P . (O nome soma de Riemann foi dado em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann (1826-<br />
1866), que, em seus trabalhos, estabeleceu o conceito de integral em bases matemáticas rigorosas.)<br />
Se existir o limite<br />
I = lim<br />
n→∞ Sn = lim<br />
n→∞<br />
n∑<br />
i=1<br />
f(ci) ∆ xi = lim<br />
∆ xi→0<br />
n∑<br />
f(ci) ∆ xi<br />
para toda soma de Riemann associada à partição P de [a, b], dizemos que a função f é integrável em [a, b] e que a<br />
integral definida de f, de a até b, denotada por<br />
I =<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ b<br />
a<br />
i=1<br />
f(x) dx, é este limite, isto é,<br />
f(x) dx = lim<br />
n→∞ Sn = lim<br />
∆ xi→0<br />
n∑<br />
f(ci) ∆ xi .<br />
O maior dos números ∆ xi é chamado norma da partição P e denotado por ||P ||. Usando esta notação e a definição<br />
rigorosa de limite, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que se P é uma partição de<br />
[a, b] sendo ||P || < δ, então ( n∑<br />
) <br />
<br />
<br />
f(ci) ∆ xi − I<br />
< ε<br />
<br />
i=1<br />
para qualquer escolha dos números ci nos subintervalos [xi−1, xi].<br />
A notação para integrais foi introduzida pelo matemático alemão G. W. Leibniz (1646-1716). O símbolo ∫ é<br />
uma estilização da letra S da palavra Summa e é chamado sinal de integral. Os números a e b são chamados,<br />
respectivamente, limite inferior e limite superior da integral. A função f é chamada de integrando, e o símbolo dx<br />
indica que a função está sendo integrada com respeito a variável independente x, que neste contexto não deve ser<br />
confundido com a diferencial de x. A variável x na integral é o que chamamos de uma variável muda. Ela pode ser<br />
substituída por qualquer outra letra sem afetar o valor da integral. Assim, se f é integrável em [a, b], podemos escrever<br />
∫ b<br />
a<br />
f(y) dy =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx =<br />
∫ b<br />
a<br />
i=1<br />
f(z) dz . . . etc.<br />
Na definição de integral, temos que a < b, mas é conveniente também definirmos integral no caso em que b < a.<br />
Neste caso, definimos<br />
desde que esta última integral exista.<br />
Além disso, se f(a) existe, então<br />
∫ a<br />
a<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx = 0.<br />
f(x) dx = −<br />
∫ a<br />
b<br />
f(x) dx,<br />
Na definição de integral não impomos restrições sobre a função f, apenas sobre a partição do intervalo [a, b]. Isto<br />
nos leva à questão de saber quais funções são integráveis. O exemplo a seguir mostra que existem funções que não o<br />
são.<br />
Exemplo 1<br />
Considere a função f definida em [0, 1] por:<br />
f(x) =<br />
{ 0 , para x racional<br />
1 , para x irracional .<br />
Qualquer que seja a partição do intervalo [0, 1], os subintervalos associados a essa partição sempre conterão pontos<br />
n∑<br />
racionais e irracionais. Se considerarmos duas somas de Riemann, uma do tipo f(ci) ∆ x, onde cada ci seja racional<br />
e outra onde cada ci seja irracional, teremos, para a primeira delas, o valor zero; para a outra, o valor 1, o que mostra<br />
que o limite depende da soma particular considerada, portanto, f não é integrável.<br />
Exemplo 2<br />
x=1
286 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
Considere a função f definida em [0, 1] por<br />
⎧<br />
⎨<br />
1<br />
, se x ̸= 0<br />
f(x) = x .<br />
⎩<br />
1 , se x = 0<br />
Temos que lim<br />
x→0+ f(x) = ∞. Então, no primeiro subintervalo [0, x1], de qualquer partição P de [0, 1], podemos<br />
achar um número ci, tal que f(ci) ∆ xi supera qualquer número dado M. Assim, para qualquer partição P podemos<br />
encontrar uma soma de Riemann arbitrariamente grande. Logo, qualquer que seja o número real I, existem somas<br />
de Riemann Rp associadas a qualquer partição P do intervalo [0, 1], tais que | Rp − I | é arbitrariamente grande. Isto<br />
implica que f não é integrável. Por argumentos análogos, podemos mostrar que qualquer função que se torne ilimitada<br />
em qualquer ponto de um intervalo [a, b] não é integrável. Assim:<br />
Se f é integrável em [a, b], então é limitada em [a, b], isto é, existe um número real M tal que | f(x) | ≤ M, para<br />
todo x em [a, b].<br />
Observações<br />
1. Repare que | f(x) | ≤ M significa, geometricamente, que o gráfico de f está entre as duas retas horizontais y = M<br />
e y = −M. Em particular, se f tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b], então f<br />
não é limitada e, portanto, não é integrável, como foi mostrado no Exemplo 2.<br />
2. Um conjunto bastante amplo de funções que são integráveis é o conjunto das funções contínuas, isto é, se f é<br />
uma função contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b].<br />
3. Se f é descontínua em [a, b], então ∫ b<br />
f(x) dx pode existir, ou não. Se f tem somente um número finito de<br />
a<br />
descontinuidades no intervalo [a, b] e todas elas são descontinuidades de salto, então f é dita contínua por partes<br />
e é integrável em [a, b]. (Veja Problema 5.)<br />
4. Repare ainda, que se f é integrável em [a, b], então o limite das somas de Riemann existe qualquer que seja a<br />
escolha dos pontos ci em cada subintervalo [xi−1, xi]. Este fato permite que particularizemos a escolha dos ci,<br />
se isto for conveniente. Por exemplo, podemos escolher ci sempre como o extremo direito, ou como o extremo<br />
esquerdo, ou como o ponto médio de cada subintervalo, ou como o número onde ocorre o máximo ou o mínimo<br />
da função em cada intervalo [xi−1, xi]. Além disso, como o limite independe da partição considerada (desde que<br />
sua norma seja suficientemente pequena), a definição de integral pode ser simplificada pela utilização de somas<br />
de Riemann associadas a partições regulares, isto é, constituídas de subintervalos de mesmo comprimento. Neste<br />
caso,<br />
b − a<br />
||P || = ∆ x =<br />
n<br />
e quando n → ∞, ∆ x → 0. A integral de f é dada por<br />
I =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx = lim<br />
n→∞<br />
n∑<br />
i=1<br />
f(ci) ∆ x = lim<br />
||P ||→0<br />
n∑<br />
f(ci) ∆ x .<br />
Em particular, como toda função contínua em [a, b] é integrável em [a, b], esta observação se aplica a funções<br />
contínuas.<br />
<strong>21</strong>.4.2 Interpretação geométrica da integral definida<br />
Como aplicação imediata da definição de integral, quando f é uma função contínua, positiva, definida em [a, b], a<br />
∫ b<br />
f(x) dx nos fornece o valor da área da região limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. Se a<br />
a<br />
função f for uma função contínua que assume valores positivos e negativos no intervalo [a, b], então o valor da integral<br />
será a diferença entre o valor da área da região que está acima do eixo x e o valor da área da região que está abaixo do<br />
eixo x. Este fato torna-se claro observando-se a figura a seguir e lembrando que, por definição, a integral é o limite de<br />
somas de Riemann. As parcelas f(ci) ∆ x que correspondem aos retângulos que estão abaixo do eixo x são negativas,<br />
e seus valores absolutos fornecem o valor das áreas de cada um destes retângulos.<br />
i=1
W.Bianchini, A.R.Santos 287<br />
<strong>21</strong>.4.3 Propriedades da integral definida<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
–3 –2 –1 1 x 2 3<br />
–0.2<br />
–0.4<br />
–0.6<br />
–0.8<br />
A partir da definição de integrais como limite de somas de Riemann podemos demonstrar algumas de suas propriedades<br />
fundamentais.<br />
Propriedade 1<br />
Se f é uma função constante definida por f(x) = k, para todo x em [a, b], então f é integrável e<br />
∫ b<br />
a<br />
1<br />
–1<br />
k dx = k (b − a) .<br />
Demonstração Seja P uma partição de [a, b]. Então, para toda soma de Riemann de f,<br />
n∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
f(ci) ∆ xi = k ∆ xi = k ( ∆ xi) = k (b − a) ,<br />
i=1<br />
i=1<br />
pois a soma dos comprimentos de todos os subintervalos da partição é o comprimento do intervalo [a,b], independente<br />
do valor de n. Conseqüentemente,<br />
isto é,<br />
lim<br />
∆ xi→0<br />
n=1<br />
n∑<br />
f(ci) ∆ xi = k (b − a) ,<br />
i=1<br />
∫ b<br />
a<br />
k dx = k (b − a) .<br />
Esta igualdade está de acordo com a discussão de área feita anteriormente, pois se k > 0, então o gráfico de f é<br />
uma reta horizontal k unidades acima do eixo dos x, e a região limitada por esta reta, pelo eixo x e pelas retas x =<br />
a e x = b é um retângulo de lados k e (b − a). Logo, sua área é dada por k (b − a). No caso especial em que k = 1,<br />
temos que ∫ b<br />
1 dx = b − a, que é igual ao comprimento do intervalo [a, b].<br />
a<br />
Propriedade 2<br />
Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então kf é integrável em [a, b] e<br />
∫ b<br />
a<br />
k f(x) dx = k<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx .<br />
Demonstração Se k = 0, o resultado se verifica trivialmente. Suponhamos, então, que k ̸= 0. Como f é integrável,<br />
temos que existe um número I tal que I = ∫ b<br />
f(x) dx.<br />
a<br />
n∑<br />
Seja P uma partição de [a, b]. Então, toda soma de Riemann para a função k f tem a forma k f(ci) ∆ xi, onde<br />
para cada i, ci está no subintervalo [xi−1, xi]. Seja ε > 0 dado. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se<br />
||P || < δ, então | ( ∑<br />
i k f(ci) ∆ xi) − k I | < ε, para todo ci em [xi−1, xi].<br />
Se observarmos que (<br />
∑<br />
i<br />
) ( ) <br />
<br />
<br />
∑<br />
<br />
<br />
k f(ci) ∆ xi − k I = | k | f(ci ∆ xi) − I <br />
<br />
,<br />
i<br />
i=1
288 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
a conclusão se verifica imediatamente, pois, como f é integrável, tem-se que, qualquer que seja ε1 >0, existe um δ ><br />
0 tal que, se ||P || < δ, então | ( ∑<br />
f(ci) ∆ xi) − I | < ε1.<br />
Assim, basta escolhermos ε1 = ε<br />
|k|<br />
i<br />
para obter o resultado desejado.<br />
Costuma-se enunciar a conclusão desta propriedade dizendo-se que constantes “podem ser retiradas do sinal de<br />
integral”.<br />
Propriedade 3<br />
Se f e g são integráveis em [a, b], então f + g é integrável em [a, b] e<br />
∫ b<br />
a<br />
(f(x) + g(x)) dx =<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ b<br />
f(x) dx + g(x) dx .<br />
a<br />
Demonstração Por hipótese, existem números reais I1 e I2, tais que ∫ b<br />
a f(x) dx = I1 e ∫ b<br />
g(x) dx = I2.<br />
a<br />
Seja P uma partição de [a, b] e seja Rp uma soma de Riemann arbitrária para f + g associada à partição P , isto é,<br />
n∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
Rp = (f(ci) + g(ci)) ∆ xi = ( f(ci) ∆ xi) + ( g(ci) ∆ xi) ,<br />
i=1<br />
i=1<br />
onde ci está em [xi−1, xi] para cada i.<br />
Seja ε > 0. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se ||P || < δ, então |Rp − (I1 + I2)| < ε .<br />
Por hipótese (f e g integráveis), sabemos que qualquer que seja ε1> 0, existem δ1 e δ2 positivos tais que, se ||P ||<br />
< δ1 e ||P || < δ2, então<br />
(<br />
) <br />
<br />
<br />
∑<br />
<br />
<br />
f(ci) ∆ xi − I1<br />
<br />
< ε1<br />
(<br />
) <br />
<br />
<br />
∑<br />
<br />
<br />
e g(ci) ∆ xi − I2<br />
<br />
< ε1 ,<br />
i<br />
Seja ε1 = ε<br />
2 e seja δ o menor dos números δ1 e δ2. Assim, se ||P || < δ, as duas desigualdades acima se verificam, e<br />
daí, como<br />
|Rp − (I1 + I2)| =<br />
≤<br />
(<br />
) ( ) <br />
<br />
∑<br />
∑<br />
<br />
<br />
f(ci) ∆ xi − I1 + g(ci) ∆ xi − I2<br />
<br />
<br />
i<br />
i<br />
(<br />
) <br />
<br />
∑<br />
<br />
<br />
f(ci) ∆ xi − I1<br />
<br />
+<br />
(<br />
) <br />
<br />
∑<br />
<br />
<br />
g(ci) ∆ xi − I2<br />
<br />
<br />
tem-se |Rp − (I1 + I2)| < ε ε<br />
2 + 2<br />
Observações<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i=1<br />
= ε, que é o resultado que queríamos demonstrar.<br />
1. Vale um resultado análogo para diferenças, isto é, se f e g são integráveis em [a,b], tem-se<br />
∫ b<br />
a<br />
(f(x) − g(x)) dx =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx −<br />
∫ b<br />
a<br />
g(x) dx<br />
2. A Propriedade 3 pode ser estendida a uma soma finita de funções. Especificamente, se f1, f2, . . . , fn são integráveis<br />
em [a, b], sua soma g = f1 + f2 + . . . + fn também o é e<br />
∫ b<br />
a<br />
g(x) dx =<br />
∫ b<br />
a<br />
f1(x) dx +<br />
∫ b<br />
a<br />
f2(x) dx + ... +<br />
∫ b<br />
a<br />
fn(x) dx .<br />
3. Se f e g são funções integráveis em [a, b] e se k1 e k2 são reais arbitrários, pelas Propriedades 2 e 3 temos que<br />
∫ b<br />
a<br />
(k1 f(x) + k2 g(x)) dx = k1<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx + k2<br />
∫ b<br />
a<br />
g(x) dx .<br />
Além disso, se k1, k2,..., kn são reais arbitrários e se f1, f2, . . . , fn são funções integráveis em [a, b], o resultado<br />
análogo vale para a função g = k1 f1 + k2 f2 + . . . + kn fn.
W.Bianchini, A.R.Santos 289<br />
Como já vimos, se f é contínua e positiva em [a, b], então ∫ b<br />
f(x) dx é a área sob o gráfico de f limitada pelas<br />
a<br />
retas x = a e x = b. De modo análogo, se a < c < b, então as integrais ∫ c<br />
a f(x) dx e ∫ b<br />
f(x) dx são as áreas sob o<br />
c<br />
gráfico de f de a até c e de c até b, respectivamente. Segue, imediatamente, que<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx =<br />
∫ c<br />
a<br />
f(x) dx +<br />
∫ b<br />
c<br />
f(x) dx .<br />
A próxima propriedade mostra que esta igualdade também é verdadeira sob hipóteses mais gerais.<br />
Propriedade 4<br />
Se a < c < b e f é integrável tanto em [a, c], como em [c, b], então f é integrável em [a, b] e<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx =<br />
∫ c<br />
a<br />
f(x) dx +<br />
∫ b<br />
c<br />
f(x) dx .<br />
Demonstração Por hipótese, existem números reais I1 e I2 tais que ∫ c<br />
a f(x) dx = I1 e ∫ b<br />
f(x) dx = I2.<br />
c<br />
Sejam P1 uma partição de [a, c], P2 uma partição de [c, b] e P uma partição de [a, b]. Denotaremos por RP1, RP2<br />
e RP as somas de Riemann arbitrárias associadas a P1, P2 e P , respectivamente. Devemos mostrar que dado um ε ><br />
0, existe um δ >0 tal que, se ||P || < δ, então |RP − (I1 + I2)| < ε.<br />
As hipóteses sobre f implicam que, dado ε1 = ε<br />
4 , existem números positivos δ1 e δ2 tais que, se ||P1|| < δ1 e ||P2||<br />
< δ2, então<br />
|RP1 − I1| < ε<br />
e |RP2 − I2| <<br />
4<br />
ε<br />
4 .<br />
Seja δ o menor dos números δ1 e δ2. Então ambas as desigualdades acima são verdadeiras, desde que tenhamos<br />
||P || < δ. Além disso, como f é integrável tanto em [a, c] como em [c, b], é limitada em ambos os intervalos e, assim,<br />
existe um número M, tal que | f(x) | ≤ M para todo x em [a, b].<br />
Suponhamos agora que além da exigência anterior feita sobre δ, tenhamos também que δ < ε<br />
4 M .<br />
Seja P uma partição de [a, b], tal que ||P || < δ, como escolhido acima. Se as subdivisões que determinam P são<br />
a = x0, x1, x2,..., xn = b, então existe um único intervalo semi-aberto da forma (xk−1, xk] que contém c.<br />
n∑<br />
Se RP = f(wi) ∆ xi, podemos escrever<br />
i=1<br />
RP =<br />
( k−1<br />
∑<br />
i=1<br />
f(wi) ∆ xi<br />
)<br />
+ f(wk) ∆ xk +<br />
( n∑<br />
i=k+1<br />
f(wi) ∆ xi<br />
Seja P1 a partição de [a, c] determinada por {a, x1, x2, . . . xk−1, c} e P2 a partição de [c, b] determinada por<br />
{c, xk, . . . , xn−1, b}. Consideremos agora as somas de Riemann<br />
RP1 =<br />
( )<br />
k−1 ∑<br />
f(wi) ∆ xi + f(c) (c − xk−1) e RP2 = f(c) (c − xk)<br />
(<br />
n∑<br />
+<br />
)<br />
f(wi) ∆ xi .<br />
i=1<br />
Então, como ||P || < δ, temos<br />
e<br />
Como<br />
(*) | RP − (RP1 + RP2) | = |f(wk) − f(c)| ∆ xk ≤ |f(wk)| + |f(c)| ∆ xk ≤<br />
(M+M) ε<br />
4 M<br />
)<br />
.<br />
i=k+1<br />
(**) |RP1 + RP2 − (I1 − I2)| ≤ |RP1 − I1| − |RP2−I2| < ε<br />
2 .<br />
= ε<br />
2<br />
|RP − (I1 + I2)| = |RP − (RP1 + RP2) + (RP1 + RP2) − (I1 + I2)|<br />
Se ||P || < δ, as desigualdades (*) e (**) implicam que<br />
≤ |RP − (RP1 + RP2)| + |RP1 + RP2 − (I1 + I2)|<br />
|RP − (I1 + I2)| < ε ε<br />
2 + 2 = ε<br />
para toda soma de Riemann RP , o que completa a demonstração.
290 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
Esta propriedade pode ser generalizada para o caso em que c não está necessariamente entre a e b. (Veja Problema<br />
8 ).<br />
Propriedade 5<br />
Se f é integrável em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então<br />
0 ≤<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx<br />
Demonstração Seja I = ∫ b<br />
f(x) dx e suponhamos por absurdo que I < 0.<br />
a<br />
n∑<br />
Seja P uma partição de [a, b] e seja RP = f(ci) ∆ xi, uma soma de Riemann qualquer, associada a P . Como,<br />
i=1<br />
por hipótese, f(ci) ≥ 0, para todo ci no intervalo [xi−1, xi], temos que RP ≥ 0.<br />
Seja ε = − I<br />
2 > 0, então, como f é integrável em [a, b], desde que ||P || seja suficientemente pequena, temos que<br />
| RP − I | < ε = − I<br />
2 . Daí, RP < I − I I<br />
2 = 2 < 0, o que é uma contradição. Portanto, a suposição I < 0 é falsa, e temos<br />
que I ≥ 0.<br />
Uma conseqüência imediata desta propriedade é expressa na propriedade a seguir, cuja demonstração é deixada a<br />
cargo do leitor. (Veja Problema 9.)<br />
Propriedade 6<br />
Se f e g são integráveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], então<br />
∫ b<br />
a<br />
g(x) dx ≤<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx .<br />
<strong>21</strong>.5 Valor médio de uma função e o teorema do valor médio para integrais<br />
definidas<br />
A média aritmética de n números a1, a2, ... , an é definida por:<br />
am = (a1 + a2 + . . . + an)<br />
n<br />
Agora, pense no seguinte problema:<br />
Suponha que você tenha uma barra de ferro de comprimento L e conhece a temperatura T (x), que varia em cada<br />
ponto x da barra. Como calcular a temperatura média Tm da barra?<br />
A dificuldade, neste caso, é que existem infinitos pontos na barra a serem considerados. A idéia é estabelecer um<br />
sistema de coordenadas na barra, de tal modo que as suas extremidades coincidam com os pontos 0 e L deste sistema<br />
e aproximar a temperatura média pela média das temperaturas de n pontos da barra, a saber,<br />
0 = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = L<br />
tomados como referência, isto é,<br />
Tm ≈ 1<br />
n<br />
n∑<br />
T (xi)<br />
i=1<br />
Claramente, à medida que aumentamos o número n de pontos considerados neste cálculo, o valor do lado direito<br />
da expressão anterior se aproximará cada vez mais da temperatura média Tm da barra.<br />
Observe, agora, que a soma anterior é muito parecida com a soma de Riemann para a função T (x). Para transformar<br />
esta expressão na soma de Riemann para a função T , basta multiplicar e dividir, a soma obtida por ∆ x = L<br />
n . Assim,<br />
temos<br />
= 1<br />
n<br />
(<br />
n∑<br />
)<br />
1 1<br />
T (xi) ∆ x =<br />
n ∆ x<br />
1<br />
(<br />
n∑<br />
)<br />
n<br />
T (xi)<br />
n L<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
i=1<br />
ai<br />
∆ x = 1<br />
L<br />
n∑<br />
T (xi) ∆ x<br />
Agora sim! O último somatório é a soma de Riemann para a função T no intervalo [0, L]. Assim,<br />
Tm = 1<br />
L lim<br />
n→∞<br />
n∑<br />
i=1<br />
T (xi) ∆ x = 1<br />
L<br />
∫ L<br />
0<br />
i=1<br />
T (x) dx
W.Bianchini, A.R.Santos 291<br />
De um modo geral, define-se o valor médio de uma função y = f(x), contínua em um intervalo [a, b], como<br />
fm = 1<br />
b − a<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx<br />
ou ∫ b<br />
f(x) dx = fm (b − a) .<br />
a<br />
Se f(x) ≥ 0 em [a, b], esta última igualdade significa, geometricamente, que a área sob o gráfico de f, desde a até<br />
b, é igual à área de um retângulo de altura fm e base b-a.<br />
Exemplo<br />
Se a temperatura de uma barra de comprimento 3 cm é dada por T (x) = x, em cada ponto x da barra, calcule a<br />
sua temperatura média.<br />
Solução:<br />
Tm = 1<br />
3<br />
∫ 3<br />
0<br />
x dx = 3<br />
2<br />
No gráfico a seguir a área hachurada tem o mesmo valor da área do retângulo escuro.<br />
Tm<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 2 3<br />
x<br />
Note que o valor Tm é atingido em algum ponto c de [a, b]. Neste exemplo, precisamente em c = 3<br />
2 . O teorema do<br />
valor médio para integrais definidas, que veremos a seguir, garante que, se f é contínua, isto é sempre verdade.<br />
<strong>21</strong>.5.1 O teorema do valor médio para integrais definidas<br />
Teorema<br />
Se f é contínua em um intervalo fechado [a, b], então existe um número c no intervalo aberto (a, b), tal que<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx = f(c)(b − a)<br />
Observações Se f(x) ≥ 0 em [a, b], o teorema admite uma interpretação geométrica interessante. Neste caso,<br />
como já vimos, S = ∫ b<br />
f(x) dx é a área limitada pelo gráfico de f, o eixo x e as retas x = a e x = b. O teorema<br />
a<br />
garante a existência de um número c, abscissa de um ponto P do gráfico de f, tal que a área da região retangular<br />
limitada pela reta horizontal que passa por P , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, dada pela expressão, f(c) (b − a),<br />
é igual a S. Veja as figuras.<br />
4.4<br />
4.3<br />
4.2<br />
4.1<br />
4<br />
3.9<br />
3.8<br />
3.7<br />
3.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2<br />
O número c não é necessariamente único. Por exemplo, se f é uma função constante, todos os números c do<br />
intervalo [a, b] satisfazem a conclusão do teorema. O teorema garante a existência de pelo menos um número c em<br />
[a, b] com a propriedade enunciada.<br />
Demonstração Sejam m = f(d) o mínimo de f em [a, b] e M = f(e) o máximo de f em [a, b]. Pela Propriedade 6,<br />
∫ b<br />
a<br />
m dx ≤<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx e<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx ≤<br />
∫ b<br />
a<br />
z<br />
M dx,
292 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
isto é,<br />
Como f é contínua e y = 1<br />
b−a<br />
número c entre a e b, tal que,<br />
m ≤ 1<br />
b − a<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx e<br />
1<br />
b − a<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx ≤ M .<br />
∫ b<br />
f(x) dx é um número entre m e M, pelo teorema do valor intermediário existe um<br />
a<br />
f(c) = 1<br />
b − a<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx<br />
Exemplo<br />
Seja v(t) a velocidade de um objeto em cada instante t num intervalo de tempo [a, b]. Então, a velocidade média<br />
do objeto é dada por<br />
vm = 1<br />
b − a<br />
∫ b<br />
a<br />
v(t) dt<br />
O teorema do valor médio para integrais definidas nos diz que a velocidade média vm é atingida pelo objeto em algum<br />
instante c de [a, b], isto é, vm = v(c).<br />
O teorema do valor médio para integrais definidas pode ser usado na demonstração de vários outros teorema<br />
relevantes. Um dos mais importantes é o teorema fundamental do cálculo, que será visto no próximo capítulo.<br />
<strong>21</strong>.6 Atividades de laboratório<br />
Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labint.mws da versão eletrônica deste<br />
texto.<br />
<strong>21</strong>.7 Exercícios<br />
n∑ n(n + 1)<br />
1. (a) Mostre a identidade i =<br />
2<br />
i=1<br />
n∑<br />
Sugestão: Some as equações i = 1 + 2 + . . . + n e<br />
i=1<br />
n∑<br />
i = n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1.<br />
i=1<br />
(b) Escreva as n equações que se obtém substituindo os valores de k = 1, 2, 3, . . . , n na identidade (k+1) 3 −k 3 =<br />
3 k 2 + 3 k + 1. Adicione essas equações e use sua soma para deduzir, da identidade dada em (a), a fórmula<br />
2. Para cada uma das funções abaixo<br />
n∑<br />
i 2 =<br />
i=1<br />
n(n + 1)(2 n + 1)<br />
.<br />
6<br />
(a) Calcule aproximadamente a área da figura limitada pela curva y = f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x,<br />
utilizando os comandos leftbox e rightbox do Maple.<br />
(b) Calcule aproximadamente o valor destas áreas com os comandos leftsum e rightsum.<br />
(c) monte uma tabela com os valores obtidos para várias partições do intervalo.<br />
(d) Use o comando limit para calcular exatamente o valor da área.<br />
(e) Compare os resultados obtidos.<br />
i. f(x) = √ x para x ∈ [0, 1] ii. f(x) = sen(x) para x ∈ [0, 2 π]<br />
iii. f(x) = √ 4 − x 2 para x ∈ [−2, 2].<br />
3. Use a definição para calcular cada uma das integrais abaixo. Use primeiro o seu raciocínio e a interpretação<br />
geométrica da integral; depois, se ainda for necessário use os comandos leftsum e rightsum do Maple para<br />
ajudá-lo nos cálculos.<br />
(a) ∫ 5<br />
3 dx −2<br />
(b) ∫ 4<br />
2 x dx<br />
−1<br />
(c) ∫ 2<br />
(d)<br />
−2 x3 dx<br />
∫ π<br />
2<br />
− π sen(x) dx<br />
2<br />
(e) ∫ 2 π<br />
cos(x) dx<br />
0<br />
(f) ∫ π<br />
cos(x) dx<br />
0<br />
(g) ∫ 2<br />
0 4 x2 + 1 dx
W.Bianchini, A.R.Santos 293<br />
4. Interprete geometricamente e calcule a integral ∫ 2 √<br />
4 − x2 dx.<br />
−2<br />
5. O gráfico da equação x2<br />
a2 + y2<br />
b2 = 1 para 0 < b < a é uma elipse. Esboce este gráfico e use o valor da integral<br />
√<br />
a2 − x2 dx para achar a área limitada por uma elipse.<br />
∫ a<br />
−a<br />
6. Sabendo-se que o valor médio de y = f(x) no intervalo [0, 7] é igual a 4, qual o valor de ∫ 7<br />
f(t) dt?<br />
0<br />
7. Ache o valor médio de f(x) = √ 1 − x 2 no intervalo [0, 1].<br />
<strong>21</strong>.8 Problemas<br />
1. Mostre que se f é uma função contínua e monótona em um intervalo [a, b], o erro na aproximação da ∫ b<br />
f(x) dx<br />
a<br />
pela soma de Riemann inferior ou superior com n subintervalos é limitado por<br />
| f(b) − f(a) | (b − a)<br />
n<br />
2. Para cada integral dada abaixo, seja ∫ b<br />
f(x) dx = L. Levando-se em conta a definição de integral, dada neste<br />
a<br />
capítulo, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um inteiro positivo N tal que<br />
(<br />
n∑<br />
) <br />
<br />
<br />
<br />
f(ck) ∆ xk − L < ε ,<br />
<br />
<br />
k=1<br />
para todo n > N. Seja ∆ xk = b−a<br />
n e ε = 0, 01. Considere ck como sendo a extremidade direita do k-ésimo subin-<br />
tervalo da partição do intervalo [a, b] considerada. Ache o menor valor de n para o qual | ( ∑ n<br />
k=1 f(ck) ∆ xk) − L | <<br />
ε, para n > N.<br />
(a)<br />
∫ 3<br />
1<br />
x 2 + 1 dx (b)<br />
∫ π<br />
2<br />
∫ π<br />
6<br />
0<br />
cos(x) dx (c)<br />
∫ π<br />
2<br />
0 cos2 x dx.<br />
∫ 1,75<br />
0,5<br />
sen(x 2 ) dx<br />
3. (a) Mostre que 0 sen2 x dx =<br />
Sugestão: Mostre que as duas áreas em questão são congruentes usando uma reflexão em torno da reta<br />
x = π<br />
4 .<br />
(b) Mostre que<br />
∫ π<br />
2<br />
0 1 − sen2 x dx = π<br />
2<br />
− ∫ π<br />
2<br />
0 sen2 x dx.<br />
Sugestão: Use a interpretação geométrica das duas integrais e use uma reflexão em torno da reta y = 1<br />
2<br />
para mostrar que as duas áreas em questão são iguais.<br />
(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que<br />
(d) Calcule ∫ π<br />
0 sen2 x dx e ∫ 2 π<br />
0 cos 2 x dx.<br />
4. Obtenha uma fórmula para ∫ x<br />
| t | dt, válida para<br />
0<br />
(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0<br />
(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.<br />
∫ π<br />
2<br />
0 sen2 x dx =<br />
∫ π<br />
2<br />
0 cos2 x dx = π<br />
4 .<br />
(d) Esboce um gráfico que represente geometricamente esta questão.<br />
{<br />
−1 , se t < 0<br />
5. Considere a função sn(t) (sinal de t ) definida por sn(t) = 0 , se t = 0 .<br />
1 , se 0 < t<br />
É claro que a função sn(t) não é contínua em zero, mas ∫ b<br />
sn(t) dt pode ser definida da mesma maneira que<br />
a<br />
para funções contínuas. Por exemplo, ∫ 1<br />
sn(t) dt, é a área limitada pelo gráfico da função, pelo eixo x e pelas<br />
0<br />
retas t = 0 e t = 1 (um quadrado de lado 1). Assim, ∫ 1<br />
0 sn(t) dt = 1. Da mesma maneira, ∫ 0<br />
sn(t) dt = −1;<br />
−1 ∫ 3<br />
0 sn(t) dt = 3; ∫ 3<br />
−3 sn(t) dt = 0 e, assim por diante. Obtenha uma fórmula válida para ∫ x<br />
sn(t) dt quando<br />
0<br />
(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0<br />
(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.<br />
6. Explique por que<br />
(a) ∫ 1<br />
−1 x273 dx = 0 (b) 0 < ∫ 3 1 14<br />
1 t dt < 12
294 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
7. (a) Dê exemplo de uma função contínua no intervalo (0, 1) tal que ∫ 1<br />
f(x) dx não exista.<br />
0<br />
(b) Dê exemplo de uma função que não seja contínua em [0, 1], tal que exista ∫ 1<br />
f(x) dx .<br />
0<br />
8. Mostre que se f é integrável em um intervalo fechado e se a, b e c são três números quaisquer deste intervalo,<br />
então ∫ b<br />
a f(x) dx = ∫ c<br />
a f(x) dx + ∫ b<br />
f(x) dx.<br />
c<br />
9. (a) Se f(x) ≤ M para todo x em [a, b], prove que ∫ b<br />
f(x) dx ≤ M (b − a). Ilustre o resultado graficamente.<br />
a<br />
(b) Se m ≤ f(x) para todo x em [a, b], prove que m (b − a) ≤ ∫ b<br />
f(x) dx. Ilustre o resultado graficamente.<br />
a<br />
(c) Mostre que se f e g são integráveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], então ∫ b<br />
a g(x) dx ≤ ∫ b<br />
f(x) dx.<br />
a<br />
<br />
<br />
(d) Seja f integrável em [a, b]. Mostre que ∫ <br />
b <br />
f(x) dx ≤ ∫ b<br />
|f(x)| dx<br />
a<br />
10. Seja f(x) = 1 + x 4 . Ache o valor médio de f no intervalo de 0 até 0,001, com dez casas decimais exatas.<br />
Sugestão: A resposta deve ser dada rapidamente. Se você não consegue perceber como isto pode ser feito, calcule<br />
a resposta usando força bruta. O número obtido sugere como os cálculos poderiam ter sido evitados.<br />
11. Se f(x) = k para todo x em [a, b], prove que todo número c em [a, b] satisfaz a conclusão do teorema do valor<br />
médio para integrais definidas. Interprete este resultado geometricamente.<br />
12. Se f(x) = x e 0 < a < b, determine (sem integrar) um número c em (a,b) tal que ∫ b<br />
f(x) dx = f(c) (b − a).<br />
a<br />
<strong>21</strong>.9 Um pouco de história<br />
Parece que o primeiro a calcular a área exata de uma figura<br />
limitada por curvas foi Hipócrates de Chios, o mais famoso<br />
matemático grego do século V A.C.. Ele calculou a área da figura<br />
em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta<br />
figura, construída por dois círculos (o círculo centrado em (0, 0)<br />
e raio unitário e o círculo centrado em (0, −1) e passando pelos<br />
pontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lúnula de Hipócrates,<br />
em homenagem àquele que descobriu que a sua área é igual à área<br />
do quadrado cujo lado é o raio do círculo.<br />
O problema da quadratura de um círculo, isto é, de achar um quadrado de área equivalente à de um círculo de raio<br />
dado, é um dos problemas clássicos da Geometria a que muitos matemáticos dedicaram atenção, desde a Antiguidade.<br />
Hipócrates “quadrou a lúnula”, embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do círculo.<br />
Os geômetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema é construir a sua solução utilizando<br />
somente uma régua não graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do círculo é impossível<br />
de resolver utilizando-se apenas régua e compasso.<br />
À primeira vista parece que o problema de calcular áreas é um assunto de interesse apenas para geômetras, sem<br />
aplicações na vida prática fora da Matemática. Isto não é verdade. No transcorrer dos próximos capítulos, veremos<br />
que muitos conceitos importantes de Física, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a força<br />
total que age sobre uma barragem em virtude da pressão de água no reservatório, por exemplo, dependem das mesmas<br />
idéias utilizadas neste capítulo para o cálculo de áreas.<br />
<strong>21</strong>.10 Projetos<br />
<strong>21</strong>.10.1 Somas de Riemann aleatórias<br />
Uma soma de Riemann de uma função f definida em um intervalo [a, b] tem a forma geral<br />
S = f(c1) (x2 − x1) + f(c2) (x3 − x2) + . . . + f(cn−1) (xn − xn−1) ,<br />
onde a = x1 < x2 < .... < xn = b é uma partição do intervalo [a, b] e cada ci é tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi.<br />
O objetivo deste projeto é calcular somas de Riemann para a função f(x) = x 3 + 3 x 2 + 2 x − 5, definidas por<br />
meio de uma partição do intervalo [0, 1] em 15 partes, geradas aleatoriamente. Para obter números aleatórios, vamos<br />
utilizar o comando rand() do Maple. Cada vez que este comando é executado, um número entre 1 e 10 12 é escolhido<br />
ao acaso. Assim, a linha de comando abaixo gera uma seqüência de 31 = 2.15 + 1 números aleatórios, entre 1 e 10 12 .<br />
Execute-o várias vezes!<br />
a<br />
0.5<br />
0<br />
–0.5<br />
–1<br />
–1.5<br />
1<br />
–2<br />
x
W.Bianchini, A.R.Santos 295<br />
> numeros:=[seq(rand(),k=1..31)]; k:=’k’:<br />
numeros := [97396414947, 780422731613, 987785640265, 674198272844,<br />
134050365811, 754869582636, 140810856859, 347877704841, 433599229456,<br />
898724880795, 485531802023, 255050614524, 952922474293, 642065329619,<br />
154912668026, 856069438450, 681407641506, 962917791070, 874166946435,<br />
905950292905, 549552888716, 84125842236, 67060541266, 6<strong>21</strong>757734462,<br />
223575905687, 273574099511, 410424381304, 659501247275, 887974857856,<br />
234450269247, 606386273485]<br />
Como queremos pontos pertencentes ao intervalo [0, 1], vamos converter os pontos gerados pelo comando acima<br />
para este intervalo, por uma mudança de escala:<br />
> pts:=map(x->evalf(x/10^12),numeros);<br />
pts := [.09739641495, .7804227316, .9877856403, .6741982728, .1340503658,<br />
.7548695826, .1408108569, .3478777048, .4335992295, .8987248808,<br />
.4855318020, .2550506145, .9529224743, .6420653296, .1549126680,<br />
.8560694385, .6814076415, .9629177911, .8741669464, .9059502929,<br />
.5495528887, .08412584224, .06706054127, .6<strong>21</strong>7577345, .2235759057,<br />
.2735740995, .4104243813, .6595012473, .8879748579, .2344502692,<br />
.6063862735]<br />
Para formar os pontos da partição, precisamos colocar esta última seqüência em ordem crescente. Isto é feito<br />
utilizando-se o comando sort:<br />
> part:=sort(pts);<br />
part := [.06706054127, .08412584224, .09739641495, .1340503658, .1408108569,<br />
.1549126680, .2235759057, .2344502692, .2550506145, .2735740995,<br />
.3478777048, .4104243813, .4335992295, .4855318020, .5495528887,<br />
.6063862735, .6<strong>21</strong>7577345, .6420653296, .6595012473, .6741982728,<br />
.6814076415, .7548695826, .7804227316, .8560694385, .8741669464,<br />
.8879748579, .8987248808, .9059502929, .9529224743, .9629177911,<br />
.9877856403]<br />
Podemos agora, calcular a soma de Riemann associada a esta partição do intervalo [0, 1], como se segue.<br />
> f:=x->x^3+3*x^2+2*x-5;<br />
f := x → x 3 + 3 x 2 + 2 x − 5<br />
> S:=sum(f(part[2*j])*(part[2*j+1]-part[2*j-1]),j=1..15);<br />
S := −2.403062293<br />
1. Repita este processo mais cinco vezes e guarde os resultados. Calcule a média das suas 6 tentativas e descreva<br />
como este processo forma uma soma de Riemann geral e como por meio dele se chega a uma aproximação do<br />
valor da integral da função no intervalo [0, 1]. Ilustre geometricamente.<br />
2. Explique como é possível melhorar a precisão do resultado e aplique as suas conclusões para melhorar o resultado<br />
obtido acima.<br />
3. Ache por este processo uma aproximação para a integral da função f(x) = x 3 + x + 2 no intervalo [0, 1].<br />
<strong>21</strong>.10.2 Somas de Riemann e funções monótonas<br />
O objetivo deste projeto é calcular integrais de funções monótonas por meio de somas de Riemann com um erro<br />
máximo prefixado.<br />
1. Considere a função f(x) = x 3 + x + 2.<br />
(a) Mostre que f é monótona no intervalo [0, 2].
296 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
(b) Use os comandos leftbox e rightbox do pacote student para ilustrar como podemos aproximar a integral<br />
da função dada no intervalo [0, 2] por meio da soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos na<br />
região delimitada pela função, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2.<br />
(c) Determine o menor valor de n (números de retângulos) que garanta uma estimativa para a integral da<br />
função com erro máximo de 0,1.(Veja Problemas 1 e 2.)<br />
(d) Use o comando sum para obter uma estimativa a maior e uma estimativa a menor para a área da região<br />
limitada por y = f(x), y = 0, x = 0 e x = 2.<br />
(e) Use o comando sum para obter estas mesmas estimativas como função do número n de retângulos usados.<br />
(f) Use o comando limit(...,n=infinity) e a expressão que você encontrou no item anterior para obter o valor<br />
exato da área da região.<br />
2. Considere a função g(x) = cos( x<br />
2 ).<br />
(a) Mostre que g é monótona em [0, 1].<br />
(b) Obtenha uma expressão geral para uma subestimativa para a área limitada pela curva y = g(x), pelo eixo<br />
x e pelas retas x = 0 e x = 1.<br />
(c) Calcule o erro máximo que se comete ao aproximar a área da região descrita acima pela soma das áreas de<br />
10 retângulos inscritos na região.<br />
(d) Obtenha o valor exato desta área.<br />
(e) Use as conclusões obtidas nos itens anteriores e a função f(x) = √ 1 − x 2 , definida em [a, b] = [0, 1] , para<br />
obter aproximações de π<br />
4<br />
com erro menor que 1<br />
10 .<br />
3. Nem todas as funções são monótonas, entretanto, as idéias estudadas aqui podem ser estendidas a funções que<br />
não são monótonas. Descreva como é possível estender as idéias estudadas neste capítulo a funções contínuas<br />
mais gerais a fim de garantir que as aproximações de ∫ b<br />
f(x) dx, obtidas por meio de somas de Riemann, tenham<br />
a<br />
uma precisão fixada.<br />
4. As somas de Riemann obtidas considerando-se o ponto médio de cada subintervalo de uma partição P do intervalo<br />
[a, b] também fornecem uma aproximação para a área da região delimitada por uma função f, positiva, definida<br />
em [a, b], pelo eixo x e pelas retas x = a e x= b. Para funções monótonas, a aproximação obtida utilizando-se o<br />
ponto médio de cada subintervalo pode conduzir a subestimativas ou a superestimativas.<br />
(a) Dê exemplos de funções para as quais a aproximação obtida considerando-se o ponto médio de cada subintervalo<br />
fornece uma subestimativa para a área de uma região delimitada pela função dada, pelo eixo x e<br />
por duas retas verticais.<br />
(b) Dê exemplos de funções para as quais a aproximação obtida considerando-se o ponto médio de cada subintervalo<br />
fornece uma superestimativa para a área da região descrita acima.<br />
5. Podemos obter aproximações para regiões do tipo descrito nos itens anteriores considerando o extremo inferior<br />
e o extremo superior de cada subintervalo considerado em uma partição do intervalo [a, b]. A média aritmética<br />
das aproximações assim obtidas é conhecida como regra do trapézio para o cálculo destas áreas.<br />
(a) Explique o porquê deste nome e estabeleça um critério geométrico que permita afirmar quando a regra do<br />
trapézio fornece uma subestimativa para a área da região e quando esta regra fornece uma superestimativa.<br />
<strong>21</strong>.10.3 O Maple e o princípio da indução matemática<br />
O princípio da indução é uma das mais importantes (e úteis) técnicas de demonstração em matemática. Este princípio,<br />
em geral, é usado quando precisamos demonstrar que uma determinada fórmula vale para todos os números naturais.<br />
Por exemplo, podemos observar que 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16. A partir destes dados, poderíamos<br />
conjecturar que a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n 2 , isto é, 1 + 3 + ...+ ( 2 n − 1) = n 2 . O princípio<br />
da indução matemática afirma que uma fórmula, P(n), é verdadeira para todo número natural n se<br />
1. P (1) é verdadeira.<br />
2. Considerando P (k) verdadeira, conseguirmos mostrar que P (k + 1) é verdadeira.
W.Bianchini, A.R.Santos 297<br />
Estas duas condições garantem que P (n) é verdadeira para todo n. De fato, se P (1) é verdade, então (usando<br />
(2) no caso particular em que k =1), segue que P (2) é verdade. Agora, como P (2) é verdade (usando (2) no caso<br />
particular em que k =2), segue que P (3) é verdade, assim por diante.<br />
Desta maneira, fica claro que qualquer que seja o número n, ele será alcançado por um número suficiente de passos,<br />
como descrito acima.<br />
Para ilustrar o raciocínio que se esconde por trás do princípio da indução, imagine uma linha infinita de pessoas<br />
numeradas da seguinte maneira P (1), P (2), P (3),... Um segredo é contado à primeira pessoa da fila (P (1) conhece o<br />
segredo) e cada pessoa tem a instrução de contar qualquer segredo para a pessoa que a segue na fila, aquela com o<br />
número seguinte ao seu próprio (se P (k) conhece o segredo, P (k + 1) conhece o segredo). Então, está claro que cada<br />
pessoa da fila acabará conhecendo o segredo!<br />
n∑<br />
Para provar a conjectura feita acima, isto é, (2 i − 1) = n 2 , precisamos, portanto,<br />
1. Provar que esta fórmula vale para n = 1. (O que é óbvio, pois 1 = 1.)<br />
i=1<br />
2. Supondo que esta fórmula valha para n = k, mostrar que ela é verdadeira para n = k + 1.<br />
O objetivo deste projeto é mostrar como usar o Maple para obter fórmulas do tipo anterior e ainda verificar a<br />
validade de P (1) e fazer as contas necessárias para estabelecer que a validade de P (k) implica na validade de P (k + 1).<br />
Vamos realizar esta tarefa com a ajuda do Maple. O comando sum e a sua forma inerte Sum podem ser usados<br />
para obter as fórmulas a serem provadas. Assim,<br />
> Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);<br />
> simplify(%);<br />
n∑<br />
(2 i − 1) = (n + 1) 2 − 2 n − 1<br />
i=1<br />
n∑<br />
(2 i − 1) = n2 Agora, podemos construir a função que a cada n associa esta soma:<br />
i=1<br />
> P:=n->Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);<br />
P := n →<br />
n∑<br />
(2 i − 1) =<br />
i=1<br />
n∑<br />
(2 i − 1)<br />
Deste modo, podemos calcular o valor de P (n), qualquer que seja o número natural n, simplesmente calculando o<br />
valor da função P , neste ponto:<br />
> P(3);<br />
> P(7);<br />
Assim, fica claro que P (1) é verdade pois,<br />
> P(1);<br />
> value(%);<br />
i=1<br />
3∑<br />
(2 i − 1) = 9<br />
i=1<br />
7∑<br />
(2 i − 1) = 49<br />
i=1<br />
1∑<br />
(2 i − 1) = 1<br />
i=1<br />
1 = 1<br />
Suponhamos agora que P (k) seja verdade para algum inteiro positivo k. Vamos considerar, portanto, que<br />
> P(k);<br />
k∑<br />
(2 i − 1) = (k + 1) 2 − 2 k − 1<br />
i=1
298 Cap. <strong>21</strong>. Introdução à <strong>Integral</strong>: <strong>Cálculo</strong> de Áreas e <strong>Integrais</strong> Definidas<br />
> simplify(P(k));<br />
k∑<br />
(2 i − 1) = k2 i=1<br />
seja verdadeira. Precisamos provar que P (k + 1) é verdadeira. Para isto, vamos somar (2k+1) (o próximo número<br />
ímpar) a ambos os lados desta equação, o que não altera a igualdade. Assim, temos:<br />
> lhs(P(k))+(2*k+1)= rhs(P(k))+(2*k+1);<br />
k∑<br />
( (2 i − 1)) + 2 k + 1 = (k + 1) 2<br />
i=1<br />
k+1 ∑<br />
É óbvio que o lado esquerdo da equação acima é a soma 1 + 3 + 5 + . . . + (2 k − 1) + (2 k + 1) = (2 i − 1).<br />
Assim, mostramos que a validade da fórmula para n = k, isto é,<br />
i=1<br />
k∑<br />
(2 i − 1) = k 2 implica na validade da fórmula<br />
k+1 ∑<br />
para n = k+1, isto é, (2 i − 1) = (k + 1) 2 e, portanto, a fórmula é válida para todo inteiro positivo.<br />
i=1<br />
Num exemplo mais complicado, poderíamos usar o Maple para mostrar que o lado direito da última equação<br />
obtida é igual a P (k + 1) e assim estabelecer que a validade de P (k) (se a fórmula é válida para os primeiros k números<br />
ímpares) implica na validade de P (k + 1) (a fórmula será válida para os primeiros k + 1 números ímpares). Para isto,<br />
basta calcular<br />
> P(k+1);<br />
i=1<br />
k+1 ∑<br />
(2 i − 1) = (k + 2) 2 − 2 k − 3<br />
simplificar a expressão resultante e comparar com o resultado obtido anteriormente.<br />
> simplify(%);<br />
> factor(%);<br />
i=1<br />
k+1 ∑<br />
(2 i − 1) = k2 + 2 k + 1<br />
i=1<br />
k+1 ∑<br />
(2 i − 1) = (k + 1) 2<br />
i=1<br />
1. Use o Maple e obtenha fórmulas, válidas para os primeiros n inteiros positivos, para as somas indicadas abaixo<br />
e verifique, usando indução matemática, que estas fórmulas são válidas para todos os inteiros positivos:<br />
(a) ∑ i3 (b) ∑ i4 (c) ∑ 1<br />
i (i+1) (d) ∑ 1<br />
i (i+1) (i+2)<br />
2. Vamos usar indução para “provar” que 1+ 2 + 3 + ...+ n = n2 +n+1<br />
2 .<br />
Seja P (n) = n2 +n+1<br />
2 . Supondo válida esta afirmação para n = k, vamos mostrar que a mesma é válida para n<br />
= k+1.<br />
Assim, temos: 1 + 2 + 3 ...+ k = k2 +k+1<br />
2 .<br />
Somando k + 1 a ambos os membros desta igualdade, vem que:<br />
1 + 2 + 3 + ...k + (k + 1) = k2 + k + 1<br />
2<br />
+ (k + 1) = k2 + k + 1<br />
2<br />
= [k2 + 2 k + 1] + (k + 1) + 1<br />
2<br />
+ 2 k + 2<br />
2<br />
= (k + 1)2 + (k + 1) + 1<br />
2<br />
= k2 + 3 k + 3<br />
2<br />
e, portanto, P (k + 1) é verdade. Assim, como a validade de P (k) implica na validade de P (k + 1), temos que<br />
P (n) é verdadeira para todos os números naturais.<br />
• Evidentemente, como a soma dos n primeiros números naturais não é dada por n2 +n+1<br />
2 (qual a fórmula<br />
verdadeira?), existe uma falha na demonstração acima. Que falha é esta?
W.Bianchini, A.R.Santos 299