1ª Lista de Exercicios

CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 51
(a) D : y = p x; x = 9; y = 0; = x + y (b) D : y = 3p x; x = 8; y = 0; = y 2
(c) D : y = x 2 ; y = 4; = ky (d) D : x 2 + y 2 = 1; = jxj
3.3D Uma lâmina tem a forma da região D do plano xy delimitada pela parábola x = y 2 e
pela reta x = 4. Determine o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por área em
cada ponto da lâmina é proporcional à distância do ponto ao eixo y.
3.3E Uma lâmina homogênea, isto é, com densidade constante, tem a forma de um quadrado
de lado a. Determine o momento de inércia com relação a um lado, a uma diagonal e ao centro de
massa.
3.4 Integrais Duplas Impróprias
As integrais duplas dos Exercícios 8.4A, 8.4B e 8.4C diferem daquelas tratadas até o momento em
dois aspectos:
(i) ou a região de integração D não é limitada;
(ii) ou a função f (x; y) que se deseja integrar é descontínua ou torna-se ilimitada na região
D. Nesses casos a integral dupla recebe a denominação de integral imprópria.
3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
Z Z
Z Z
(a)
(b)
x 2 +y 2 1
Z 1Z
1 dxdy
(d) p
xy
0
ZZ
(g)
R 2
0
dxdy
p x 2 + y 2
e x2 y 2
dxdy (h)
x 2 +y 2 1
dxdy
p 1 x 2 y 2
Z Z
(c)
x 2 +y 2 1
Z 1Z
1
(e) x2e x2 y2 Z Z
dxdy (f)
0
0
Z 1Z
1 dxdy
p
jx yj
0
0
x 2 +y 2 1
D
ln p x 2 + y 2 dxdy
dxdy
1 + x 2 + y 2
ZZ
(i) ex=y ; D : 0 x y2 ; 0 y 1
3.4B Use o resultado do Exercício 5.45(g) e deduza que R 1 x2
1 e dx = p :
3.4C Mostre que a função f (x; y) = 1= (x y) não é integrável em D : 0 y < x 1, embora
seja contínua neste conjunto. Este exemplo mostra que não basta ser contínua para ser integrável.