Capítulo 22 - Instituto de Matemática - UFRJ

Capítulo 22
O Teorema Fundamental do Cálculo e
Integrais Indefinidas
22.1 Introdução
Calcular integrais usando somas de Riemann, tal qual vimos no capítulo anterior, é um trabalho penoso e por vezes
muito difícil (ou quase impossível). Felizmente, existe um método muito eficiente e poderoso que permite calcular
integrais de uma maneira muito mais simples. Este método, desenvolvido separadamente por Newton e Leibniz, mostra
que se uma determinada quantidade pode ser calculada por exaustão (somas de Riemann, por exemplo), então pode
ser calculada muito mais facilmente com o uso de antiderivação, entendida como o processo de achar uma função
conhecendo-se a sua derivada. Este importante resultado é denominado teorema fundamental do cálculo e é um dos
mais importantes de toda a matemática. Este teorema relaciona derivadas e integrais e mostra que elas são, de uma
certa maneira, “operações inversas”.
Este fato é evidenciado pela seguinte situação física. Considere uma partícula deslocando-se em linha reta, com
velocidade conhecida v(t) ≥ 0, em cada instante t, com t variando em um intervalo de tempo [a, b]. Se s(t) fornece
a posição da partícula em cada instante t, o espaço total percorrido pela partícula em um intervalo de tempo [a, b] é
dado por s(b) − s(a).
Considere agora uma partição P do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais. O espaço percorrido pela partícula,
em cada subintervalo de tempo [ ti−1, ti], de comprimento ∆ t, da partição P , pode ser aproximado por v(ci) ∆ t, onde
ci é um ponto do subintervalo considerado. Assim, o espaço total percorrido pela partícula no intervalo de tempo [a,
n∑
b], pode ser aproximado pela soma v(ci) ∆ t. Esta aproximação será cada vez melhor à medida que ∆ t for cada
i=1
vez menor. Assim, temos que o valor exato do espaço percorrido será dado pelo limite da soma acima, ou seja,
s(b) − s(a) = lim
n→∞
n∑
v(ci) ∆ t =
Este resultado é o chamado teorema fundamental do cálculo .
22.2 O teorema fundamental do cálculo
i=1
∫ b
a
v(t) dt =
∫ b
a
s ′ (t) dt .
A abordagem de Newton do problema do cálculo de áreas parece, à primeira vista, paradoxal e consiste em substituir
o problema do cálculo da área de uma região fixa (figura à esquerda) pelo cálculo da área de uma região variável,
produzida quando a extremidade direita do intervalo é considerada móvel, de modo que a área seja uma função de x,
como é ilustrado no diagrama da figura à direita.
8
6
4
2
0
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
4.
2.
0
4.
2.
0
1.
1.
2.
2.
4.
2.
0
4.
2.
0
1.
1.
2.
2.
4.
2.
0
4.
2.
0
1.
1.
2.
2.

302 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
É fácil descobrir qual é a função que nos dá a área da região variável, como mostra a primeira parte da demonstração
do teorema fundamental do cálculo enunciado a seguir.
Teorema fundamental do cálculo:
Seja f uma função contínua definida no intervalo fechado [a, b].
1. Se a função A é definida em [a, b] por
A(x) =
∫ x
a
f(t) dt ,
então, A ′ (x) = f(x) para todo x em [a, b]. Uma função com tal propriedade é chamada de primitiva ou antiderivada
de f.
2. Se F é uma primitiva de f em [a, b], então
∫ b
a
f(x) dx = F (b) − F (a) .
Antes de demonstrarmos o teorema, vamos salientar alguns aspectos geométricos da fórmula do item 2. Se f é positiva
em [a, b], então a função A definida em 1, representa a área sob o gráfico de f desde t = a até t = x (figura seguinte à
esquerda).
É claro que A cresce com x. Se ∆ x > 0, a diferença ∆ A = A(x + ∆ x) − A(x) é a área sob o gráfico de f de x até
x + ∆ x, que corresponde a área da faixa mostrada na figura seguinte à direita.
a x b
a x x+ Δ x b
Mostraremos que
A(x + ∆ x) − A(x)
= f(c) ,
∆ x
onde c está entre x e x + ∆ x. Intuitivamente percebemos que se ∆ x tende a zero, então c → x e f(c) → f(x), que é
o resultado que queremos provar. Este resultado nos diz, simplesmente, que a taxa de variação da área A em relação
a x é igual ao comprimento do lado esquerdo da região.
Demonstração
1. Seja ∆ x > 0. Se x e x + ∆ x pertencem a [a, b] então, pela definição da função A(x) e pelas propriedades das
integrais definidas, temos que
A(x + ∆ x) − A(x) =
Assim, podemos escrever
=
∫ x+∆ x
a
∫ x+∆ x
x
f(t) dt −
f(t) dt
∫ x
A(x + ∆ x) − A(x)
∆ x
a
f(t) dt =
= ( 1
∆ x )(
∫ x
a
∫ x+∆ x
x
f(t) dt +
∫ x+∆ x
x
f(t) dt) .
f(t) dt −
∫ x
a
f(t) dt
Como f é contínua, pelo teorema do valor médio para integrais, sabemos que existe um número c (que depende
de ∆ x) no intervalo (x, x + ∆ x), tal que
e, portanto,
∫ x+∆ x
x
f(t) dt = f(c) ∆ x
A(x + ∆ x) − A(x)
∆ x
= f(c) .

W.Bianchini, A.R.Santos 303
Como x < c < x + ∆ x, segue que lim
∆ x→0 +
f(c) = lim
c→x +
f(c) = f(x) e daí, pela igualdade anterior,
lim
∆ x→0 +
Se ∆ x < 0, demonstra-se, analogamente, que lim
∆ x→0− Os limites laterais acima implicam que
o que queríamos demonstrar.
2. Seja A(x) =
∫ x
dA
dx
= lim
∆ x→0
A(x + ∆ x) − A(x)
∆ x
= f(x) .
A(x + ∆ x) − A(x)
∆ x
A(x + ∆ x) − A(x)
∆ x
f(t) dt como definida em 1. Então, A(a) = 0 e A(b) =
= f(x) ,
= f(x) .
a
a
Pela parte 1, A ′ (x) = f(x). Por hipótese, temos também que F ′ (x) = f(x). Logo, pelo corolário 2 do teorema do
valor médio, as funções A e F diferem por uma constante, isto é,
A(x) = F (x) + C .
Para x = a, temos 0 = A(a) = F (a) + C, isto é, C = −F (a).
Assim, A(x) = F (x) − F (a). Logo, para x = b,
e o teorema está demonstrado.
Observações
A(b) =
∫ b
a
f(t) dt = F (b) − F (a)
∫ b
f(t) dt.
1. A igualdade A ′ (x) = f(x) que aparece na parte 1 do teorema fundamental do cálculo pode ser reescrita como
d
dx
∫ x
a
f(t) dt = f(x)
e nos mostra que a derivada desta função é, simplesmente, o valor do integrando calculado no limite superior da
integral. Temos também que
∫ x ∫ x
d
f(t) dt = F (t) dt
a
a dt
e por sua vez
∫ x
d
F (t) dt = F (x) − F (a)
dt
a
Neste sentido, diz-se que as operações de derivação e integração são inversas uma da outra.
2. Usa-se a notação F (x)| b a para representar a diferença F (b) − F (a). Assim, escrevemos
∫ b
f(x) dx = F (x)|
a
b a = F (b) − F (a) .
3. Qualquer primitiva de f(x) servirá para o cálculo da ∫ b
f(x) dx. A veracidade desta afirmação é facilmente
a
comprovada se lembrarmos que quaisquer duas primitivas de f diferem por uma constante. Assim, se F é uma
primitiva de f, então qualquer outra primitiva desta função é obtida adicionando-se uma conveniente constante
C à função F para obter F + C. Deste modo, como
(F (x) + C)| b
a = (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a) ,
a constante arbitrária C não tem efeito sobre o resultado, portanto, podemos sempre escolher C = 0, quando
estamos achando primitivas com o propósito de calcular integrais definidas.

304 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
4. Este teorema torna o difícil problema de calcular integrais definidas por meio do cálculo do limite de somas num
problema muito mais fácil de encontrar primitivas. Portanto, para achar o valor de ∫ b
f(x) dx não precisamos
a
mais calcular limites de somas de Riemann; simplesmente achamos, da maneira que for possível (por inspeção,
por algum cálculo inteligente, por inspiração divina, procurando numa tabela, usando o Maple), uma primitiva
F da função que queremos integrar e calculamos o número F (b) − F (a).
5. A tarefa de encontrar primitivas de funções não é trivial e, em alguns casos, é impossível determinar primitivas
em termos de funções elementares – polinômios, senos e cossenos, logaritmos e exponenciais, ou combinações e
composições destas funções. No entanto, a função A(x) definida no teorema fundamental do cálculo, existe sempre
que o integrando for uma função contínua no intervalo [a, x], mesmo que não saibamos calculá-la explicitamente,
e é contínua, pois é derivável. Neste sentido, por exemplo, o problema de se achar uma fórmula explícita para a
integral
∫ x
a
sen(x 2 ) dx
está fora do nosso alcance. Entretanto, se em vez de procurarmos uma fórmula explícita para esta integral
quisermos apenas uma função bem definida, a expressão F (x) = ∫ x
a sen(x2 ) dx servirá como uma boa definição
para a função procurada. (Veja o Exemplo 5.)
Exemplo 1
Se n é um inteiro positivo, calcule uma primitiva de x n e use este resultado para calcular ∫ 2
−1 x5 dx.
Solução Como d
( ) (n+1) x
dx n + 1
cálculo obtemos:
Exemplo 2 Calcule
∫ 2
−1
= x n , temos que x6
6
∫ 2
−1
x 2 − x dx .
x 5 dx = x6
6
2
é a primitiva procurada. Assim, pelo teorema fundamental do
−1
= 26
6
− (−1)6
6
= 63
6 .
Solução: Como x 2 − x ≤ 0 em (0, 1) e x 2 − x ≥ 0 em (−1, 0) e (1, 2), usando as propriedades da integral definida,
temos
∫ 2
−1
x 2 − x dx =
=
∫ 0
−1
[ x 3
3
= −( (−1)3
3
x 2 − x dx +
]0
x2
− +
2 −1
∫ 1
0
[ x 2
2
(−1)2
− ) + (
2
1
2
x − x 2 dx +
]1
x3
− +
3 0
Exemplo 3 Considere a função f(x) = 2 x3 + 2 x2 − 4 x .
(a) Calcule ∫ 1
f(x) dx.
−2
(b) Ache a área da região limitada pelo gráfico de f e o eixo x.
Solução (a) Como a função F (x) = x4
f(x) = 2 x 3 + 2 x 2 − 4 x, tem-se que
∫ 1
−2
2 x 3 + 2 x 2 − 4 x dx = x4
2
2
∫ 2
1
[ x 3
3
x 2 − x dx
]2
x2
−
2 1
1 22
− ) + [23 − − (1
3 3 2 3
+ 2 x3
3 − 2 x2 é uma primitiva de
+ 2 x3
3
(b) Observe o o seguinte gráfico da função f:
− 2 x2
1
−2
1 11
− )] =
2 6 .
= 1 2
2 (−2)3
+ − 2 − ((−2)4 + − 2 (−2)
2 3 2 3
2 ) = 9
2

W.Bianchini, A.R.Santos 305
R1
5
4
3
y
2
1
–3 –2 –1 0
–1
R2 1 x 2 3
A região limitada pelo gráfico de f e o eixo x é composta de duas regiões R1 e R2. A área de R1 é dada por
∫ 0
2 x 3 + 2 x 2 − 4 x dx = x4
0
(
2 x3
4
+ − 2 x2
(−2) 2 (−2)3
2 3 = − + − 2 (−2)
2 3
2
)
= 16
3
−2
–2
–3
No intervalo (0, 1) a função é negativa, de modo que, para obter a área (positiva) da região R2, devemos mudar o
sinal da integral de f neste intervalo. Assim, a área de R2 será dada por
∫ 1
− 2 x 3 + 2 x 2 [ ]1
4 x 2 x3
− 4 x dx = − + − 2 x2 = −(
2 3 1 2 5
+ − 2) =
2 3 6 .
0
Logo, a área R da região pedida será
R = R1 + R2 = 16 5 37
+ =
3 6 6 .
Este raciocínio é equivalente a integrarmos o valor absoluto de f no intervalo considerado, pois
∫ 1
−2
| f(x) | dx =
∫ 0
−2
−2
f(x) dx −
∫ 1
0
0
f(x) dx ,
e esta soma fornece a área que queremos calcular. Esta conclusão é ilustrada pelo gráfico de y = | f(x) |, mostrado a
seguir. Compare este gráfico com o de y = f(x) traçado anteriormente.
Exemplo 4
Calcule dy
, se
dx
(a) y = f(x) =
∫ x
0
5
4
3
y
2
1
–3 –2 –1 0
–1
1 x 2 3
t 3 sen(t) dt (b) y = h(x) =
–2
–3
∫ x 2
0
t 3 sin(t) dt
Solução (a) A primeira parte do teorema fundamental do cálculo afirma que a derivada de uma integral em
relação ao seu limite superior é igual ao valor do integrando naquele limite. Assim, se y(x) = ∫ x
0 t3 sen(t) dt, temos,
imediatamente, que dy
dx = x3 sen(x).
(b) Este caso é um pouco mais complicado, pois o limite superior da integral é uma função da variável em relação
a qual desejamos derivar a função dada. Neste caso, seja u = g(x) = x2 . Assim, se
então, h(x) = (F ◦ g)(x). Pela regra da cadeia,
F (u) =
∫ u
0
t 3 sen(t) dt
dh dF du
=
dx du dx = u3sen(u)2x = x 6 sen(x 2 ) 2x = 2x 7 sen(x 2 )
Exemplo 5
A integral S(x) = ∫ x
0 sen
( )
2
π t
2 dt é chamada função de Fresnel e apareceu pela primeira vez no trabalho do físico
francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por suas contribuições em ótica sobre a difração de ondas de luz.

306 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
(a) Para que valores de x esta função tem máximos locais.
(b) Em que intervalos esta função é côncava para cima?
Solução (a) A primeira parte do teorema fundamental do Cálculo nos mostra que
S ′ ( ) 2 π x
(x) = sen .
2
A partir desta informação, podemos aplicar os métodos do cálculo diferencial para analisar esta função. Como S ′ é
contínua em toda a reta, os pontos críticos de S só poderão ocorrer onde S ′ ( )
2
π x (x) = 0, ou seja, onde sen = 0. Daí,
decorre que x = ± √ 2 k, para k = 0, 1, 2 . . ..
Para decidir quais destes pontos são máximos locais, vamos aplicar o teste da derivada segunda. Assim, como
S ′′ ( )
2
π x (x) = π x cos , temos que, para valores ímpares de k, S ′′ ( √ 2 k) será negativa e, portanto, os pontos x = √ 2 k
2
(k ímpar) serão máximos locais da função S.
A análise é análoga para o caso em que x = − √ 2 k. O ponto (0, 0) é um ponto de inflexão da função S. (Confira!)
O item (b) é deixado como exercício para o leitor.
Veja abaixo, à esquerda o gráfico desta função traçado com a ajuda do Maple e abaixo à direita um detalhe do
mesmo (para x variando de 0 até 2,5) traçado em conjunto com a sua derivada. Observe que as conclusões obtidas
acima coincidem com os gráficos apresentados.
0.6
0.4
0.2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x
–0.2
–0.4
–0.6
22.3 Integrais indefinidas
Uma integral como
∫ b
a
0.8
0.6
0.4
0.2
0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
1
–1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
x
f(x) dx é chamada integral definida de f. Uma função F , tal que F ′ (x) = f(x) é uma primitiva
de f(x), assim como F (x) + C, onde C é uma constante real qualquer. À medida que variamos C, obtemos o conjunto
de todas as primitivas de f. Podemos representar este conjunto por
∫
f(x) dx = F (x) + C.
A integral que aparece nesta expressão é chamada integral indefinida de f e é usada para especificar a primitiva
mais geral de f. Assim, ∫
f(x) dx = F (x) + C se e somente se F ′ (x) = f(x)
e podemos escrever que
∫
d
dx
f(x) dx = d
(F (x) + C) = f(x)
dx
e
∫
f(x) dx =
∫
d
F (x) dx = F (x) + C .
dx
A constante C é chamada de constante de integração. Para cada valor de C temos uma primitiva de f. Veja a
figura a seguir, onde traçamos o gráfico de várias primitivas da função f(x) = (x − 2) 2 , obtidas pela variação do valor
da constante C.
4
y
2
0
–2
–4
c =3
c = 2
c = 1
c = 0
c = –1
1 2
x
3 4
c = –2
2

W.Bianchini, A.R.Santos 307
Em geral, não se explicita o domínio de F . Supõe-se sempre escolhido um intervalo em que f seja integrável. Tal
como no caso de integrais definidas, aqui também é irrelevante o símbolo adotado para a variável de integração, por
exemplo, ∫ f(t) dt, ∫ f(u) du, etc. originam sempre a mesma função F . Como a integral indefinida de f é uma primitiva
desta função, o teorema fundamental do cálculo nos dá a seguinte relação entre integrais definidas e indefinidas:
∫ b
a
[∫
f(x) dx =
] b
f(x) dx
a
Assim, conhecida a integral indefinida de uma função f, podemos calcular qualquer integral definida desta mesma
função. Além disso, a partir das propriedades operatórias de derivação, podemos estabelecer algumas regras básicas
para as integrais indefinidas. Por exemplo, a propriedade operatória para derivar somas de funções pode ser traduzida
em termos de integrais indefinidas como
∫
∫
(f(x) + g(x)) dx =
Da mesma forma, se C é uma constante arbitrária,
∫
∫
C f(x) dx = C
∫
f(x) dx +
f(x) dx
g(x) dx
Assim, tal como no caso de integrais definidas, toda regra de derivação pode ser transformada em uma regra de
integração. Por exemplo, como
d
(√ )
∫
x
x
x2 + 5 = √ ⇒ √ dx =
dx
x2 + 5 x2 + 5 √ x2 + 5 + C
Esta observação nos permite construir uma tabela de integrais “invertendo” uma tabela de derivadas, como é feito nos
exemplos a seguir.
Exemplo 1 A regra da potência para integrais definidas é dada por
∫
x n dx = x(n+1)
+ C, para todo racional n ̸= −1.
n + 1
Exemplo 2 Da mesma maneira, valem as regras
∫
sen(x) dx = −cos(x) + C
∫
cos(x) dx = sen(x) + C
∫
sec2 (x) dx = tg(x) + C
∫
cossec2 (x) dx = −cotg(x) + C
∫
∫
1
dx = arctg(x) + C
1 + x2 1
√ dx = arcsen(x) + C
1 − x2 Como já dissemos, a tarefa de encontrar primitivas e, portanto, de calcular integrais indefinidas, não é trivial. Nos
próximos capítulos, desenvolveremos métodos que serão úteis no cálculo de integrais indefinidas.
22.4 Exercícios
1. Calcule as integrais abaixo usando o teorema fundamental do cálculo:
(a)
(b)
∫ 3
∫1 π
0
x 2 dx
sen(x) dx
(c)
(d)
∫ π
cos(x) dx
0
∫ 1
5 x
0
3 − 4 x 2 + 2 dx
(e)
∫ π
4
0
sec 2 x dx
2. Use o teorema fundamental do cálculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo:
∫ 1
(a) 5 x
−1
5 + 3 x 3 ∫ 4 √ 1
+ sen(2 x) dx (d) 3 x − √x dx
∫ 2
∫ π
∫ 2
x
π
(g)
(b) sen(x) cos(x) dx
(e) cos(5 x) dx
1
∫ 0
9 √
(c) 3 x − 2 dx
∫0 3
5 2
(f) − dx
x4 x3 3 + x4 dx
∫ x
π
(h)
0
2 x cos(x 2 ) dx
1
1

308 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
3. Usando as propriedades das integrais definidas e o teorema fundamental do cálculo, prove que a integral de um
polinômio de grau n é dada por:
4. Seja f(x) =
∫ b
a
n∑
ci x i dx =
i=0
{ ∫ 1
x + 1 x < 0
. Calcule f(x) dx.
cos(x) x ≥ 0 −1
n∑
i=0
(
ci
i + 1
)
x (i+1)
5. Em cada um dos itens abaixo, determine um número c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio para
integrais definidas:
(a)
(b)
∫ 4
∫0 1
−1
√ x + 1 dx
(2 x + 1) 2 dx
(c)
(d)
∫ 2
−1 ∫ 9
1
3 x 3 + 2 dx
3
dx
x2 6. (a) Se f(x) = x 2 + 1, determine a área da região sob o gráfico de f de −1 a 2.
(b) Se f(x) = x 3 , determine a área da região sob o gráfico de f de 1 a 3.
7. Use integração para calcular a área do triângulo delimitado pela reta y = 2 x, pelo eixo x e pela reta x = 3.
Confira sua resposta usando geometria.
8. Use uma integral definida para provar que a área de um triângulo retângulo de base b e altura a é dada por ab
2. .
9. Cada uma das curvas a seguir tem um arco acima do eixo x. Calcule a área da região sob o arco.
(a) y = −x 3 + 4 x
(b) y = x 3 − 9 x
(c) y = 2 x 2 − x 3
(d) y = x 4 − 6 x 2 + 8 .
10. Ache a fórmula geral para F (x) = ∫ x
0 t2 + 2 t + 5 dt. Idem para ∫ x
a t5 − 2 t 3 + 1 dt.
11. Ache a primeira e a segunda derivada de cada uma das funções dadas abaixo
∫ x
(a) f(x) = t
5
2 dt
∫ x
(b) g(x) = t 3 ∫ x √
(c) h(x) = 1 + t8 dt
+ 1 dt
−4
∫ 3
(d) g(x) = (1 + t 3 ) 100 dt
(e) f(x) =
22.5 Problemas
π
x
b
a
∫ 5
x
1
dt, para x > 0.
t
1. Ache a área sob o gráfico de y = x
√ x 2 +1 desde x = 1 até x = 2.
(A menos que você consiga se lembrar de alguma função cuja derivada seja x
√ x 2 +1 , você não terá como resolver este
problema. O radical no denominador sugere que, de alguma forma, você deve tentar usar a fórmula ( √ f) ′ =
2. Calcule
∫ 1
−1
f ′
2 √ f .
t
√ t 2 + 1 dt. Sugestão: Esboce o gráfico desta função e explique por que o valor desta integral pode
ser determinado sem ser necessário fazer nenhum cálculo!
3. Calcule
∫ π
2
− π
2
sen(x) (cos(x) + 3 x 2 − x sen(x)) dx.
(Se você achou este problema difícil, use o Maple para traçar o gráfico do integrando e conclua porque não é
necessário nenhum cálculo para resolver esta integral!)
4. (a) Se f(x) é uma função ímpar, isto é, f(−x) = −f(x), mostre, geométrica e analiticamente, que ∫ a
f(x) dx = 0.
−a
(b) Se f(x) é uma função par, isto é f(−x) = f(x), mostre geometrica e analiticamente, que ∫ a
f(x) dx =
−a
2 ∫ a
f(x) dx
0
5. O gráfico de y = x2 , x ≥ 0, pode ser considerado como sendo o gráfico de x = √ y, y ≥ 0. Mostre, por geometria,
que isto implica a validade da equação ∫ a
0 x2 dx + ∫ a 2 √ 3 y dy = a , a > 0. Confira este resultado calculando as
0
integrais.

W.Bianchini, A.R.Santos 309
6. Para calcular a integral ∫ 1
−1
Seja F (x) = − 1
x . Como F ′ (x) = 1
x 2 , temos que
1
x 2 dx, um aluno de Cálculo I raciocinou da seguinte maneira:
∫ 1
−1
1
1
dx = F (1) − F (−1) = −1 − (− ) = −2.
x2 −1
O resultado acima representa, geometricamente, a área sob o gráfico da curva y = 1
x 2 , de x = −1 até x = 1 que,
evidentemente, não pode ser negativa. Qual a falha no raciocínio deste aluno?
7. (a) Seja um ponto P que se move com velocidade contínua v numa reta coordenada. Mostre que a velocidade
média deste ponto, no intervalo [a, b], é igual à média de v em [a, b].
(b) Se f tem derivada contínua em [a, b], mostre que a taxa média de variação de f(x) em relação a x em [a,b],
é igual ao valor médio de f ′ em [a,b].
8. Uma pedra cai de um edifício de 40 metros de altura. Ache a velocidade média da pedra se ela demora 18
segundos para atingir o solo.
9. A temperatura média da praia de Copacabana em um dia de verão das 8 da manhã às 6 da tarde é dada,
π t
aproximadamente, por T (t) = 25 + 16 sen( 10 ). Considerando t = 0 às oito da manhã, calcule a temperatura
média da areia no período de 10 horas discriminado acima.
10. Os itens abaixo se referem à função F (x) = ∫ x
0
(a) Ache F (0) e F ′ (1).
(b) Justifique por que F (3) − F (1) < 1.
1
1+t 4 dt, qualquer que seja x real.
(c) Justifique por que F (x) + F (−x) = 0, qualquer que seja o número real x.
−1
d F (d) Mostre que F é invertível em toda a reta e calcule ( dx )(1).
11. (a) Ache a área A, como uma função de k, da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo y, pela reta y =
k , k > 0, e pelo gráfico da função y = x 3 .
(b) Qual o valor de A quando k = 1?
(c) Se a reta y = k está se movendo para cima a uma taxa constante de 1
10 unidades de comprimento por
segundo, qual a taxa de variação de A quando k = 1?
12. Seja g(x) = ∫ x
4
f(t) dt, onde f é a função cujo gráfico é mostrado a seguir.
(a) Calcule g(4), g(−4), g(−3), g(0) e g(2).
(b) Em que intervalos g é crescente?
(c) Em que ponto g atinge o seu valor máximo?
(d) Esboce o gráfico de g.
(e) Use o gráfico obtido no item anterior para esboçar o gráfico de g ′ . Compare o gráfico assim obtido com o
gráfico de g.
0.8
0.6
0.4
0.2
–4 –2 2 4
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
1
–1
13. Suponha que g ′ (x) < 0 para todo x ≥ 0 e seja F (x) = ∫ x
0 t g′ (t) dt, para todo x ≥ 0. Justifique a veracidade ou
a falsidade das afirmações:
(a) F é negativa para todo x ≥ 0.
(b) F é contínua para todo x ≥ 0.
(c) F ′ (x) existe para todo x > 0.
(d) F é uma função crescente.

310 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
14. Seja f(x) uma função duas vezes diferenciável tal que f ′′ é contínua em toda a reta. Sabendo que f(0) = −4,
f(1) = 3, f ′ (0) = 5, f ′ (1) = 2, f ′′ (0) = 3 e f ′′ (1) = 1, calcule ∫ 1
0 f ′′ (x) dx e ∫ 1
0 f ′ (x) dx.
15. Mostre que d
( ∫ )
u2(x)
f(t) dt = f(u2(x))
dx u1(x)
( ∫ 3
x
d 1
dx t dt
)
x 2
( )
d u2
− f(u1(x))
dx
22.6 Um pouco de história: A integral de Lebesgue
( )
d u1
. Use este resultado para calcular
dx
O método de calcular áreas e volumes de figuras geométricas complicadas por meio de áreas e volumes de figuras mais
simples, já era usado por Arquimedes (287-212 A.C.). Tal idéia foi o germe do que se convencionou chamar de cálculo
infinitesimal. Embora esta idéia seja tão antiga, sua formalização matemática, denominada teoria da integração, teve
seu apogeu no século atual. Podemos afirmar que o conceito de integral aparece, de fato, em forma embrionária,
nos trabalhos de Arquimedes, ao utilizar o Método da Exaustão criado por Eudoxo (408-355 A.C.), no cálculo de
comprimento de curvas, de áreas e de volumes de figuras geométricas. Um dos resultados obtidos por Arquimedes
com o emprego deste método é descrito no projeto Arquimedes e a quadratura da parábola.
Ainda que os conceitos de derivada como coeficiente angular da tangente e da integral definida como área sob
uma curva fossem familiares a muitos pensadores desde a Antiguidade, dizemos que Newton e Leibniz lançaram as
bases do cálculo diferencial e integral porque eles, trabalhando quase ao mesmo tempo e independentemente um do
outro, foram os principais descobridores do teorema fundamental do cálculo e aqueles que primeiro compreenderam
a sua importância, começando a construir a necessária teoria para o estabelecimento destas noções em bases sólidas,
aplicando os seus resultados, com sucesso espetacular, a problemas de mecânica e geometria.
Entretanto, Newton e Leibniz não possuíam com clareza a noção de limite, deixando duvidosos e obscuros vários
pontos de seus trabalhos, com a introdução do conceito de infinitésimo.
Posteriormente, com os trabalhos de Cauchy (1789-1857) e Riemann (1826-1866), o conceito de integral foi estabelecido
em bases matemáticas rigorosas, tornando-se para a época um instrumento poderoso na resolução de inúmeros
problemas.
Durante muito tempo foi desenvolvida uma teoria de integração baseada nas idéias de Riemann. Esta teoria, entretanto,
contém certos inconvenientes que a tornam inadequada ao estudo de vários problemas da análise matemática.
Na seção Para você Meditar, deste capítulo, focalizamos um desses inconvenientes.
Como a noção de integral de Riemann apresenta certas deficiências que a tornam ineficaz para a resolução de um
grande número de problemas, fez-se necessária a reformulação de tal conceito, com o objetivo de se obter uma integral
sem as deficiências da integral de Riemann e a contendo como um caso particular. Dito de outro modo, dever-se-ia
obter uma integral tal que a nova classe de funções integráveis contivesse a classe de funções integráveis a Riemann
(onde as duas integrais deveriam coincidir) e na qual os inconvenientes da integral de Riemann desaparecessem ou,
pelo menos, fosse minimizados.
O passo decisivo no sentido de se obter uma definição de integral que eliminasse as deficiências existentes na integral
de Riemann foi dado por Henri Lebesgue (1875-1941), quando em 1902 publicou sua famosa tese de doutoramento,
intitulada “Intégrale, longuer, aire”, que atualmente está contida no livro “Leçons sur l’Integration et la Recherche
des Fonctions Primitives”. O conceito de integral originalmente proposto por Lebesgue baseia-se na noção de medida
de conjuntos, e as suas idéias se afastaram tanto dos cânones da época que foram, em princípio, refutadas e severamente
criticadas. Todavia, a originalidade de suas idéias encontrou crescente reconhecimento, vindo a completar
definitivamente certas lacunas inerentes à integral de Riemann.
A integral de Lebesgue foi a primeira tentativa frutífera de organização matemática da noção de integral. Neste
sentido, costuma-se dizer que a teoria de integração foi criada no século XX.
22.7 Para você meditar: Uma conclusão intuitiva ou um erro teórico?
Dizemos que uma função u:(a, b) → R é uma função escada quando existe uma partição do intervalo (a, b) tal que
u é constante em cada subintervalo desta partição. No capítulo anterior, utilizamos áreas de retângulos inscritos (ou
circunscritos) a uma região para obter aproximações para áreas sob gráficos de funções f positivas. Observe o gráfico
a seguir e conclua que, se mi é o menor valor da função f em cada subintervalo da partição, a área dos retângulos
inscritos é a área sob o gráfico de uma função escada que assume o valor mi em cada subintervalo considerado.

W.Bianchini, A.R.Santos 311
4
3
2
1
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
No capítulo anterior concluímos, também, que o valor exato da área sob uma curva poderia ser obtido tomando-se
o limite das áreas desses retângulos. Seguindo o mesmo raciocínio, podemos observar que à medida que o número
de intervalos considerados na partição aumenta, a seqüência de funções escadas un associadas, da maneira descrita
acima, a cada subintervalo das partições, converge para a função f, isto é, lim
n→∞ un = f e desse modo,
lim
n→∞
∫ b
Estas afirmações são ilustradas no diagrama:
a
un(x) dx =
∫ b
Considere agora a seqüência de funções gn definidas por
⎧
Observe os gráficos de g1(x) e g2(x):
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
⎪⎨
gn(x) =
⎪⎩
0,
0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
0
a
lim
n→∞ un(x) dx =
∫ b
2 n 2 x, 0 ≤ x ≤ 1
2 n
2 n − 2 n2 1
1
x, 2 n ≤ x ≤ n
3
2.5
2
1.5
0.5
0
a
1
n ≤ x ≤ 1
1
f(x) dx .
0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
É fácil ver que, à medida que n cresce, para cada x fixado, a seqüência gn(x) converge para zero. Assim, podemos
dizer que lim
n→∞ gn(x) = 0. No entanto, para cada n, temos que ∫ 1
0 gn(x) dx = 1
2 (por quê?) e, portanto
∫ 1
lim gn(x) dx =
n→∞
1
∫ 1
̸= 0 = lim
2 n→∞ gn(x) dx
∫ b
• E agora, será que a nossa definição de área sob uma curva está errada, pois não é verdade que lim
n→∞
0
∫ b
a
un(x) dx =
lim
a
n→∞ un(x) dx?
• Se a conclusão no primeiro exemplo apresentado acima é correta, qual a diferença entre os dois exemplos dados?
Por que no primeiro caso vale a igualdade
lim
n→∞
∫ b
a
un(x) dx =
∫ b
a
lim
n→∞ un(x) dx

312 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
e no segundo este resultado não se aplica?
(Sugestão: O cerne deste problema está na definição de convergência para seqüência de funções. O modo como as
seqüências acima convergem para a função limite é diferente nos dois casos apresentados. Tente entender onde está
esta diferença!)
22.8 Projetos
22.8.1 Arquimedes e a quadratura da parábola
Vamos examinar o procedimento utilizado por Arquimedes para calcular a área de um segmento parabólico, isto é, a
área da região limitada por uma parábola e pela reta AB como mostra a figura à esquerda.
Para calcular a área desta região, Arquimedes utilizou triângulos da maneira descrita a seguir. Sua primeira
aproximação foi o triângulo ABC, onde o vértice C é escolhido como o ponto em que a tangente à parábola é paralela
à reta AB. (Veja figura à direita).
A
8
6
4
2
–3 –2 –1 0 1 x 2 3
B
A
8
6
4
2
C
–3 –2 –1 0 1 x 2 3
Sua segunda aproximação foi obtida juntando-se ao triângulo ABC os dois triângulos ACD e BCE, onde o vértice
D é o ponto em que a tangente é paralela à reta AC e o vértice E é o ponto em que a tangente é paralela à reta BC,
continuando com este processo, até “exaurir” a área do segmento parabólico.
Desta maneira, Arquimedes calculou a área do segmento parabólico e mostrou que existe uma relação entre esta
área e a área do primeiro triângulo utilizado para este cálculo.
O objetivo deste projeto é utilizar conhecimentos de cálculo, para descobrir no procedimento descrito acima a
relação existente entre as áreas do segmento parabólico e do primeiro triângulo utilizado por Arquimedes em um caso
particular.
1. Considere a reta y = m x + b e a parábola y = x 2 . Determine o ponto P no arco AOB da parábola que maximize
a área do triângulo APB, onde A e B são os pontos de interseção da reta e da parábola e O é a origem do sistema
de coordenadas.
2. Relacione a área deste triângulo ótimo com a área da região delimitada pela reta e pela parábola.
3. Usando o teorema do valor médio, mostre que no ponto P a reta tangente à parábola é paralela à reta AB.
4. Use os itens anteriores para concluir qual a relação estabelecida por Arquimedes no seu trabalho sobre a
quadratura da parábola.
22.8.2 Separação de variáveis, velocidade de escape e buracos negros
Grande parte da inspiração original para o desenvolvimento do Cálculo veio da Física, mais especificamente, da
Mecânica e estas ciências continuam ligadas até hoje. A Mecânica é baseada em certos princípios básicos que foram
formulados por Newton. O enunciado destes princípios requer o conceito de derivada, e suas inúmeras aplicações
dependem do conceito de integral aplicado à resolução de equações diferenciais: equações que envolvem uma função e
suas derivadas.
Resolver uma equação diferencial significa encontrar uma função incógnita a partir de informações dadas a respeito
de sua taxa de variação. Essas equações aparecem tão freqüentemente em problemas físicos, biológicos e químicos que
seu estudo, hoje, constitui-se num dos principais ramos da matemática.
No projeto Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado, vimos, como a partir de leis
físicas (no caso a segunda Lei de Newton), foi possível obter uma equação diferencial que modela a queda livre de
corpos e então deduzir várias fórmulas para este movimento que usamos desde o segundo grau, sem uma justificativa
mais profunda.
Nos exemplos estudados naquele projeto, tratamos a aceleração da gravidade como se fora uma constante e vimos
que esta hipótese é razoável para corpos que se movem próximos à superfície da Terra. No entanto, para estudar o
B

W.Bianchini, A.R.Santos 313
movimento de um corpo que se move para fora da Terra, no espaço, devemos levar em conta que a força da gravidade
varia inversamente com o quadrado da distância do corpo à Terra.
Esta lei, conhecida como lei da gravitação de Newton, em homenagem ao grande matemático e físico que a
estabeleceu, afirma que duas partículas quaisquer de matéria no universo se atraem com uma força proporcional a
suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. O objetivo deste projeto é utilizar esta
lei e nossos conhecimentos sobre integrais para estabelecer a velocidade necessária para que um foguete escape da
atração gravitacional da Terra.
Equações diferenciais e separação de variáveis
Vimos que a equação ∫ f(x) dx = F (x) é equivalente a F ′ (x) = f(x). Esta afirmação pode ser interpretada de duas
maneiras.
(a) Podemos pensar no símbolo ∫ . dx operando sobre a função f(x) para produzir sua primitiva. Dessa maneira,
o sinal de integral e o símbolo dx são, juntos, parte de um mesmo símbolo. O sinal de integral especifica a
operação, e o único papel de dx é assinalar qual é a variável de integração.
(b) Uma segunda interpretação para a equivalência acima é baseada na notação e no conceito de diferencial de
uma função introduzido no Cap. 20. Usando diferenciais, a igualdade F ′ (x) = f(x) pode ser escrita como
dF (x) = f(x) dx, onde f(x) dx é encarada como a diferencial da função F (x). Segundo este ponto de vista, o
sinal de integral pode ser entendido como um operador que age sobre a diferencial de uma função, ou seja, sobre
f(x) dx, retornando, como resultado, a própria função. Assim, o símbolo de integral significa a operação que é
a inversa da diferenciação.
Esta segunda interpretação é particularmente conveniente para a resolução de certas equações diferenciais simples.
Como dissemos na introdução, uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função (a incógnita do
problema) e suas derivadas. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que ocorre na equação.
Ao integrarmos uma função qualquer, estamos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. Assim, usando
notação diferencial, a equação dy
dx = 3 x2 é equivalente a dy = 3 x 2 dx. Para resolver esta equação diferencial, basta
integrarmos ∫
∫
dy =
3 x 2 dx ⇒ y = x 3 + C
Esta solução é chamada solução geral da equação diferencial dada, e escolhas diferentes para a constante de
integração C fornecem soluções particulares.
De um modo geral, se uma equação diferencial pode ser escrita na forma
g(y) dy = f(x) dx
com as variáveis x e y “separadas” em diferentes membros da igualdade acima, podemos integrar ambos os lados da
identidade para obter a solução da equação.
Velocidade de escape
Suponha que um foguete seja lançado para cima com velocidade inicial v0 e depois disso se mova sem nenhum gasto
posterior de energia. Para valores grandes de v0, este foguete sobe bastante antes de atingir o repouso e iniciar sua
queda de volta à Terra. O problema que propomos é o de calcular a menor velocidade v0 para que o foguete jamais
atinja o repouso e, por causa disso, escape da atração gravitacional da Terra.
M m
De acordo com a lei da gravitação de Newton, a força F que atrai o foguete para a Terra é dada por F = −G( s2 ),
onde G é uma constante positiva, M e m são as massas da Terra e do foguete, respectivamente, e s é a distância do
foguete ao centro da Terra (neste caso toda a massa da Terra está concentrada no seu centro). Como pela segunda lei
do movimento de Newton, F = m a, temos que
(∗) m( d2 s
m
2 ) = −G(M
dt s2 ) ⇒ d2 s M
2 = −G
dt s2 Esta equação nos diz que o movimento do foguete não depende da sua massa. Além disso, podemos determinar o
valor da constante G se lembrarmos que, quando s = R (raio da Terra), a aceleração d2 s
dt 2 é igual a −g (aceleração a
gravidade).
Então, temos que GM = gR 2 , e como d2 s
dt 2 = dv
dt
(∗∗)
, podemos escrever (*) como
dv
dt
= −gR2 .
s2

314 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
Como, pela regra da cadeia, dv
dt
= ( dv
ds
)( ds
dt
dv ) = ( ds )(v), a equação (**) se transforma em
v dv
ds
= −gR2 .
s2 1. Separe as variáveis e integre para obter a solução geral desta equação diferencial.
2. Use a condição inicial v = v0, quando s = R, para determinar, dentre todas as soluções possíveis da equação, a
solução particular que nos interessa, isto é, determine o valor da constante de integração a fim de que a solução
encontrada satisfaça os dados iniciais do problema em estudo.
3. Examinando a solução encontrada, determine a velocidade de escape da Terra. (Lembre-se de que a velocidade
do foguete deve ser sempre positiva, pois se a velocidade se anular, o foguete pára e, então, cai de volta à Terra.)
4. Estime o valor da velocidade de escape usando para g o valor de 9,8 m/s 2 e para R, 6, 37 × 10 6 m.
5. Como vimos na discussão acima, a lei da gravitação de Newton implica que a gravidade na superfície de um planeta
ou qualquer outro corpo celeste é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional
ao quadrado do seu raio.
(a) Se gL denota a aceleração devido à gravidade da Lua, use o fato de que a Lua tem, aproximadamente, 3
11
do raio e 1
81 da massa da Terra para mostrar que gL é aproximadamente igual a g
6 .
(b) Calcule a velocidade de escape para a Lua.
(c) Explique por que se o raio de um corpo diminui e sua massa se mantém constante a velocidade de escape
para este corpo cresce.
Buracos negros
A maioria das estrelas normais é mantida em seu estado gasoso em virtude da pressão de radiação de dentro, que é
gerada pela queima de combustível nuclear. Quando o combustível nuclear se distribui, a estrela sofre um colapso
gravitacional, transformando-se numa esfera muito menor com, essencialmente, a mesma massa.
A matéria comprimida e degenerada dessas estrelas que caíram em colapso podem alcançar dois tipos de equilíbrio,
dependendo da massa da estrela. As estrelas anãs brancas são as que se formam quando a massa é menor que cerca
de 1,3 massas solares, e estrelas de nêutrons aparecem quando a massa está entre 1,3 e 2 massas solares. Para estrelas
mais pesadas, o equilíbrio não é possível e o colapso continua até que a velocidade de escape na superfície atinja a
velocidade da luz. Estrelas em colapso deste tipo são completamente invisíveis, pois não emitem nenhuma radiação.
Estes são os chamados buracos negros.
• Se o sol pudesse ser concentrado numa esfera menor com a mesma massa, qual seria um valor aproximado do seu raio
para que a velocidade de escape em sua superfície fosse igual à velocidade da luz (aproximadamente 300000 km/s)?