Apostila de Treliças 2

TRELIÇAS 

São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós. 

Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós. 

Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas 

barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções. 

Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo 

Método dos Nós. 

Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, 

devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro 

passo. 

Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos 

nós. Tais esforços serão denominados de N. 

1º Condição de Treliça Isostática: 

2 . n = b + Sendo 

2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal): 

ΣFx = 0 

ΣFy = 0 

ΣM = 0 (Momento fletor) 

Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido antihorário 

3º Métodos dos Nós 

+ - 

Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós 

e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior 

fazendo a troca de sinais. 

Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na 

equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais 

devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os 

sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações. 

Calma, nos exercicios verá que é fácil. 

n = nº de nós 

b = quantidade de barras 

= nº de reações (Verticais e 

1

Por Convenção os sinais das forças das barras são: + 

TRAÇÃO 

Treliça Esquemática 

- COMPRESSÃO 

2

Exercícios 

1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através 

do Método dos Nós. 

1º Passo Condição de Isostática 

2.n = b+ν 

2.6 = 9+3 

12 = 12 OK 

2º Passo Reações de Apoio 

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) 

HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0 

3º Passo Método dos Nós 

VA+VE = 200 KN VA = 400÷4 

100+VE = 200 KN VA = 100 KN 

VE = 200-100 

VE = 100 KN 

Decomposição das forças 

Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

NAB 

VA 

NAF 

NAB 

VA 

NAF 

3

NCB 

NFA 

NFB 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

VA+NAB = 0 NAF = 0 

100+NAB = 0 

NAB = -100 KN 

Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

50 

NBA 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0 

-50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0 

-NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN 

NBF = 70,7 KN 

Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

10 

NCF 

NFC 

Forças Verticais (H) 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-100-NCF = 0 -NCB+NCD = 0 

NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0 

NCD = - 50 KN 

Nó “F” Forças Verticais (V) 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0 -NFB.cos45°+NFD.cos45°- 

NFA+NFE = 0 

= 0 

NBC 

50 

NBF NBA NBF 

NFD 

NC 

NFE 

10 

NCF 

NFB NFC NFD 

NCB 

NBC 

-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE 

NFB 

NFA 

NBF 

NC 

NFD 

NFE 

NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN 

4

NEF 

ND 

ND 

NFD = 70,7 KN 

Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

NED 

VE 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NED+100 = 0 0-HE = 0 

NED = -100 KN HE = 0 KN 

Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

50 

50 

NDE 

HE 

ND 

NED 

VE 

NDE 

NDF 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0 

-50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0 

-50-50+100 = 0 50-50 = 0 

0 = 0 0 = 0 

BARRA 

FORÇAS NORMAIS 

AXIAIS (KN) 

ESFORÇO 

NAB -100 COMPRESSÃO 

NED -100 COMPRESSÃO 

NAF 0 - 

NEF 0 - 

NBC -50 COMPRESSÃO 

NDC -50 COMPRESSÃO 

NBF 70,7 TRAÇÃO 

NDF 70,7 TRAÇÃO 

NEF 

ND 

HE 

5

NCF -100 COMPRESSÃO 




2.n = b+ν 

2.5 = 7+3 

10 = 10 OK 



HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0 

60+HB = 40 -HA.2+120 = 0 

HB = 40-60 HA = 120÷2 

HB = -20 KN HA = 60 KN 



6

HB 

HA 

NEA 

NC 

NCB 


VB 

NBA 

= 0 

0 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57° 

20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 

NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57° 

NBC = 22,36 KN 


NAB 

NAB+NAC.sen26,57° = 0 

HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

10+NAC.sen26,57° = 0 60+(- 

22,36).cos26,57°+NAE = 0 

NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0 

NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN 


NEC 

0 

NBC 

NA 

VB 

NBA 

NAB 

NBC 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NEC = 0 -NEA+NED = 

-(-40)+NED = 0 

NED = -40 KN 


NC 

NAE 

NED 

40 

NEC 

NCB 

NA 

HB 

HA 

NEA 

NCB 

NC 

NBC 

NA 

NAE 

NED 

40 

NC 

7

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°- 

NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0 

22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-22,36.cos26,57°-(- 

22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0 

ND 

NDE 

NCE NC NCE NC 

10+10-NCD.sen26,57°=0 -40- 

20+20+40 = 0 

NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0 

NCD = 44,7 KN 


20 

0 

ND 

20 

NDE 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-20+NDC.sen26,57° = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0 

-20+44,7.sen26,57° = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) = 

-20+20 = 0 -40+40 = 0 

0 = 0 0 = 0 

BARRA 


AXIAIS (KN) 

ESFORÇO 

NAB 10 TRAÇÃO 

NBC 22,36 TRAÇÃO 

NAC -22,36 COMPRESSÃO 

NAE -40 COMPRESSÃO 

NEC 0 - 

NED -40 COMPRESSÃO 

NCD 44,7 TRAÇÃO 

ND 

8




2.n = b+ν 

2.8 = 13+3 

16 = 16 OK 


9

HA 

N21 

N31 


HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0 


VA = 6-3 VB = 48÷16 

VA = 3 t VB = 3 t 


Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

VA 

5).cos36,87°+N12 = 0 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0 

N13.sen36,87°+3 = 0 0+(- 

N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t 

N13 = -5 t 


N23 

N13 

N12 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N23 = 0 -N21+N24 = 0 

-4+N24 = 0 

N24 = 4 t 


2 

N32 

N24 

N35 

N34 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°- 

N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0 

2 

N13 

VA 

N23 

N35 

N31 N32 N34 

HA 

N13 

N12 

N21 N24 

N31 

N35 

N34 

10

N53 

-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(- 

5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0 

= 0 

”2” 

-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 

(-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4 

N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87° 

N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5 

Sistema de Equações Substituindo na equação 

“1” ou “2” 

“1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5 

“2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5 

2N34 = -3,33 N35 = -5+1,67 

N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t 

N34 = -1,67 t 


ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 - 

N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0 

-2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(- 

3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0 

= 0 

2 

N54 

N57 

+ 

2 

N53 N54 N57 

N53 

-2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87° 

N57 

11

N42 

N43 

2,66÷cos36,87° 

N54 = 2 t N57 = - 

N57 = -3,33 t 


N45 

N47 

N46 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46- 

N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0 

+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(- 

1,67).cos36,87° = 0 

-1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0 

N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t 

N47 = 1,67 t 

N43 N45 N47 

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, 

ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme 

tabela. 

BARRA 


AXIAIS (t) 

ESFORÇO 

N13 = N87 -5 COMPRESSÃO 

N12 = N86 4 TRAÇÃO 

N43 

N42 

N47 

N46 

12

N24 = N64 4 TRAÇÃO 

N23 = N67 0 - 

N34 = N74 -1,67 COMPRESSÃO 

N35 = N75 -3,33 COMPRESSÃO 

N54 2 TRAÇÃO 



13

HB 


2.n = b+ν 

2.7 = 11+3 

14 = 14 OK 



HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0 

HA = -HB HA = 24÷3 

HB = -8 t HA = 8 t 




VB 

= 0 

0 

N56 

8÷cos26,57° 

VB 

N51 N51 N56 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57° 

HB 

N56 

6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° = 

-N51+6-4 = 0 N56 = 

N51 = 2 t N56 = 8,94 t 

14


N15 

N15+N16.sen45° = 0 

HA+N12+N16.cos45° = 0 

2,83).cos45° = 0 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

2+N16.sen45° = 0 8+N12+(- 

N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0 

N16 = -2,83 t N12 = - 6 t 


ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°- 

N61.cos45°+N67.cos26,57°=0 

-2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(- 

2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0 

6÷cos26,57° 

-2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0 

N62 = 1 t N67 = 

N67 = 6,7 t 


0 

N16 

HA HA 

N12 

N65 

N61 

N21 

2 

N62 

N26 

N67 

N27 

N23 

2,23).cos26,57° = 0 

N15 N16 

N65 

2 

N61 N62 N67 

N26 N27 

N65 

N61 

N21 

N16 

N12 

N67 

N27 

N23 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° = 

1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(- 

15

N32 

N76 

N72 

N47 

N43 

N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0 

N27 = -2,23 t N23 = -4 t 


N37 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N37 = 0 -N32+N34 = 0 

-(-4)+N34 = 0 

N34 = -4 t 


2 

N73 

N34 

N74 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°- 

N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0 

-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(- 

2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0 

-2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0 

N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0 

N74 = 4,47 t 

N37 


2 

N76 

2 

N72 N73 N74 

N47 

2 

N32 

N76 

N72 

N47 

N43 

N34 

N74 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

16

0 

-2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° = 

-2+4,47.sen26,57° = 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0 

-2+2 = 0 +4-4 = 0 

0 = 0 0 = 0 

BARRA 


AXIAIS (t) 

ESFORÇO 


N56 8,94 TRAÇÃO 

N16 -2,83 COMPRESSÃO 

N12 -6 COMPRESSÃO 





N37 0 - 



17




2.n = b+ν 

2.5 = 7+3 

10 = 10 OK 


ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento 

fletor) 

HA = 0 VA+VB = 10+20 - 

VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0 

VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4 

VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN 

VA = 12,5 KN 

18



VA 

VA+NAC.sen53,13° = 0 

HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0 

15,63).cos53,13° = 0 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(- 

NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN 

NAC = -15,63 KN 


ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 - 

NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0 

-10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(- 

15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0 

= 0 

KN 

NA 

HA HA 

NAE 

NC 

NEA 

NEC 

10 

NCE 

NC 

-10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88 

NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26 

NCE = 3,13 KN 

NA 

VA 


NED 

NEB 

10 

NC NCE 

NEC NED 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°- 

NEC.cos53,13° = 0 

NC 

NEC 

NEA 

NA 

NAE 

NC 

NCE 

NED 

NEB 

19

ND 

NDE 

NBE 

3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°- 

(+3,13).cos53,13° = 0 

0 

NBD 

NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 = 

NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN 


20 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°- 

NDC+NDB.cos53,13°=0 

-20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(- 

21,88).cos53,13°=0 

= 0 

-20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13 

NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0 

NDB = -21,88 KN 


VB 

NDB 

13,14 = 0 

BARRA 

20 

NDE NDB 

NBD 

VB 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

VB+NBD.sen53,13° = 0 -NBD.cos53,13°-NBE = 0 

17,5+(-21,88).sen53,13° = 0 -(-21,88).cos53,13°- 

0 = 0 0 = 0 


AXIAIS (KN) 

ND 

NDE 

NBD 

NBE 

NDB 

ESFORÇO 

20

NAC -15,63 COMPRESSÃO 

NAE 9,38 TRAÇÃO 

NCE 3,13 TRAÇÃO 

NCD -11,26 COMPRESSÃO 

NED -3,13 COMPRESSÃO 

NEB 13,14 TRAÇÃO 

NDB -21,88 COMPRESSÃO 




21

2.n = b+ν 

2.5 = 7+3 

10 = 10 OK 



fletor) 

HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0 

HB = -HA HB = 360÷0,9 

HA = - 400 KN HB = 400 KN 



NBA 

HB HB 

NBD 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NBA = 0 HB+NBD = 0 

400+NBD = 0 

NBD = -400 KN 


VA 

HA HA 

NA 

NAB 

NA 

NAB 

NBA 

VA 

NA 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 - 

HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0 

225-0-NAD.sen36,87° = 0 - 

400+NAC+375.cos36,87 = 0 

NBD 

NA 

NA 

22

ND 

NDB 

NC 

NEC 

NED 

NC 

NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN 

NAC = 375 KN 


ND 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0 

375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0 

NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0 

NDE = -100 KN 


15 

NDE 

NCE 

100+100 = 0 

ND ND 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0 

-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0 

-150+225-NCE.sen36,87° = 0 - 

NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0 

NCE = 125 KN 


75 

15 

NC NCE 

NEC 

75 

ND 

NDB 

NC 

NEC 

NED 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NDE 

NCE 

23

-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0 

-75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0 

-75+75 = 0 -100+100 = 0 

0 = 0 0 = 0 

BARRA 


AXIAIS (KN) 

ESFORÇO 

NBA 0 - 

NBD -400 COMPRESSÃO 

NAD 375 TRAÇÃO 

NAC 100 TRAÇÃO 

NDC -225 COMPRESSÃO 

NDE -100 COMPRESSÃO 

NCE 125 TRAÇÃO 



24


2.n = b+ν 

2.8 = 13+3 

16 = 16 OK 



fletor) 

HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0 


4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0 

VE = 8-4 VA = 16a÷4a 

VE = 4 KN VA = 4 KN 


VA 

= 0 

= 0 

NAB 

NAF 

NAB 

VA 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF 

4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF 

NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN 

NAB = -8 KN 

NAB 

NAF 

25

NFA 

NBA 

Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

NFB 

4 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0 

NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0 

NFG = 6,9 KN 


NBF 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 - 

NBA.cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 

NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(- 

8).cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 

NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0 

6,9+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 

NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0 

NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6,9 

(NBC-NBG).sen30° = 0 

(NBC+NBG).cos30° = -6,9 

6,9÷cos30° 

”2” 

NFG 

NBC 

NB 

NFB 

4 

NBC 

NBA NBF NB 

NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = - 

NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8 


“1” ou “2” 

NFA 

NBA 

NFG 

NBC 

NB 

26

NCB 

NG 

NGF 

= 0 

“1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0 

“2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0 

2NBC = -8 NBG = -4 KN 

NBC = -8÷2 

NBC = -4 KN 


ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 - 

NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0 

0 

3,5÷cos30° 

-(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° = 

2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30° 

NCG = 4 KN NCD = - 

NCD = -4 KN 

Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

NGF+NGH = 0 

6,9+NGH = 0 

6,9+NGH = 0 

KN 

NC 

NG 

NC 

NG 

NG 

+ 

NCB NC NC 

NG NG NG 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°- 

-4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°- 

NCB 

NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5- 

NG 

NGF 

NGD = -4 KN NGH = 6,9 

NC 

NG 

NG 

27


ângulos), as barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas. 

BARRA 


AXIAIS (KN) 

ESFORÇO 

NAB = NED -8 COMPRESSÃO 

NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO 

NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO 

NFB = NHD 4 TRAÇÃO 

NBC = NDC -4 COMPRESSÃO 

NBG = NDG -4 COMPRESSÃO 

NCG 4 TRAÇÃO 

28




2.n = b+ν 

2.10 = 17+3 

20 = 20 OK 



fletor) 

HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a- 

400.2a-400.1a = 0 

29

NGF 


1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a 

VJ = 2000-1000 VF = 1000 N 

VJ = 1000 N 


40 

NAF 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-400-NAF = 0 NAB = 0 

NAF = -400 N 


NFA 

VF 

NAB 

NFB 

NFG 

NFG = 0 

848,5.cos45°+NFG = 0 

40 

NAF 

NFA NFB 

VF 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° + 

NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 - 

NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N 

NFB = -848,5 N 

Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 

NG NG 

NG 

NAB 

NFB 

NFG 

NGF NG 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NGB = 0 -NGF+NGH = 0 

-600+NGH = 0 

30

NBA 

NBF 

= 0 

NGH = 600 N 


ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45° 

-400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(- 

848,5).cos45°+282,8.cos45°=0 

NCB 

40 

NB 

0 

-400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 = 

NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N 

NBH = 282,8 N 


40 

NBH 

NBC 

NC 

40 

NBF NB NBH 

40 

NC NB 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-400-NCH=0 -NCB+NCD = 0 

NCH = -400 N -(-800)+NCD=0 

NCD = -800 N 


ângulos), as barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas. 

NBA 

NBF 

NCB 

BARRA 


AXIAIS (N) 

ESFORÇO 

NAB = NED 0 - 

NBC 

NBH 

NC 

31

NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO 

NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO 

NFG = NJI 600 TRAÇÃO 

NGB = NID 0 - 

NGH = NIH 600 TRAÇÃO 

NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO 

NBC = NDC -800 COMPRESSÃO 

NCH -400 COMPRESSÃO 



32


2.n = b+ν 

2.6 = 8+4 

12 = 12 OK 



fletor) 

HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 = 

0 

HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0 

VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6 

VE = 20,25 KN 

Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de 

ação, bem como as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento 

AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não 

é solicitada. 

Os cálculos mostrarão essa teoria. 

33

9 

NBA 



9 NAB NAB 

NBC 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NAC = 0 -9+NAB = 0 

NAB = 9 KN 


= 0 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0 

-NBD-(-11,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0 

-NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87° 

NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87° 

NBC = -11,25 KN 


NC 

NCE 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 - 

9+NCB.cos36,87°+NCD = 0 

0-NCE+(-11,25).sen36,87° = 0 -9+(- 

11,25).cos36,87°+NCD = 0 

0 

NA 

NBD 

NCB 

NC 

NA 

NBC NBD 

NC NCB 

NCE 

9 

NBA 

NBC 

9 

NCB 

NCE = -6,75 KN -9-9+NCD = 

NC 

NCD = 18 KN 

34

ND 

NDE 


NDB 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 0 

6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =0 

6,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87° 

NDF = 20,25 KN NDE = -22,5 KN 


NEC 

22,5).cos36,87° = 0 

NDB 

NDF NDE NDF 

NED 

NEC NED 

VE 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 0 

20,25+(-6,75)+(-22,5).sen36,87° = 0 HE+(- 

20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok 

0 = 0 


ND 

NDE 

HE H 

VE 

NFD NFD 

VF 

HF 

VF 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NFD-VF = 0 -HF = 0 

NED 

HE confirmada 

HF 

20,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok 

35

0 = 0 

HF confirmada 

BARRA 


AXIAIS (KN) 

ESFORÇO 


NAC 0 - 

NCE -6,75 COMPRESSÃO 

NCD 18 TRAÇÃO 

NBD 6,75 TRAÇÃO 

NBC -11,25 COMPRESSÃO 

NDF 20,25 TRAÇÃO 

NDE -22,5 COMPRESSÃO 

36




2.n = b+ν 

2.6 = 9+3 

12 = 12 OK 



fletor) 

HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 = 

0 

HF = -HC HF = 720÷4,5 

HC = -160 KN HF = 160 KN 



NDA 

NDA 

NDE 

37

NEA 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NDA-100 = 0 NDE = 0 

NDA = 100 KN 


ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0 

NAB.cos22,62°+NAE.cos22,62° = 0 

= 0 

0÷cos22,62° 

”2” 

10 

NAB 

NAE 

NDE 

NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62° 

(NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE = 

NAB-NAE = 100÷sen22,62° 

NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0 


“1” ou “2” 

“1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0 

“2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 0 

2NAB = 260 NAE = -130 KN 

NAB = 260÷2 

NAB = 130 KN 

10 

NAB 

NA NA NAE 


NEB 

+ 

NEA NEB 

NEA 

NAB 

NAE 

NEF 

38

NED 

NFE 

NFB 

NBA 

NEA.cos22,62° = 0 

130).cos22,62° = 0 

KN 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED- 

NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(- 

NEB = 50 KN NEF = -120 


NFC 

NEF 

NFB.cos39,81° = 0 

NFB.cos39,81° = 0 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF- 

NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160- 

NFC = 33,3 KN NFB = -40÷cos39,81° 

NFB = -52 KN 


NBE 

HF 

NBC 

NBF 

NFB NFC 

NBC 

NBA NBE NBF 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

+NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 - 

NBA.cos22,62°+NBC.cos22,62°+NBF.cos39,81° = 0 

NED 

NFE 

NFB 

NBA 

HF 

NBC 

NBF 

39

173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(- 

52).cos39,81°=0 

NCB 

= 0 

66,5-50-50+33,5=0 NBC.cos22,62°-120-40 

0=0 NBC = 160÷cos22,62° 

NBC = 173 KN 


VC 

HC 

VC 

NCF NCB NCF 

NCB 

ΣFV= 0 ΣFH = 0 

VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0 

100-(+33,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0 

100-33,3-66,7=0 -160+160 = 0 

0=0 0 = 0 

HC 

BARRA 


AXIAIS (KN) 

ESFORÇO 

NDA 100 TRAÇÃO 

NDE 0 - 

NAE -130 COMPRESSÃO 


NEB 50 TRAÇÃO 

NEF -120 COMPRESSÃO 

NFC 33,3 TRAÇÃO 

NFB -52 COMPRESSÃO 

NBC 173 TRAÇÃO 

40



41

HA 


2.n = b+ν 

2.10 = 17+3 

20 = 20 OK 



fletor) 

HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0 


VA+13,5 = 30 VB = 135÷10 

VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN 

VA = 16,5 KN 


VA 

N12 

N13 

VA+N12.sen45° = 0 

HA+N13+N12.cos45° = 0 

23).cos45° = 0 

N12 

VA 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(- 

N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN 

N12 = -23 KN 

HA 

N12 

N13 

42

N43 

N21 

N31 

N42 

N23 


N31+N32.cos71,57°+N34 = 0 

= 0 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N32 = 0 - 

-16,3+0.cos.71,57°+N34 

N34 = 16,3 kN 


N43+N42.cos71,57°+N45 = 0 

= 0 

N32 

N34 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N42 = 0 - 

-16,3+0.cos.71,57°+N45 

N45 = 16,3 kN 


15 

15 

N24 

N45 

N26 

N25 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°- 

N23.cos71,57°+N26+N25.cos45°+N24.cos71,57° = 0 

-15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°- 

0+N26+2,29.cos45°+0=0 

N32 

N42 

N21 N23 N24 

N25 

N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0 

N25 = 2,29 KN N26 = -17,88 KN 

N21 

N23 

N31 

N31 

N32 

N34 

N32 

N34 

N26 

N25 

N24 

43

N54 

N62 

N52 


ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-15-N65 = 0 -N62+N67 = 0 

N65 = -15 KN -(-17,88)+N67 = 0 

N67 = -17,88 KN 


ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°- 

N54+N57.cos45°+N58 = 0 

2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°- 

16,3+18,9.cos45°+N58 = 0 

= 0 

N85 

15 

N65 

N56 

N67 

N57 

N58 

N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36 

N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN 

N57 = 18,9 KN 


N87 

N89 

N85+N87.cos71,57°+N89 = 0 

15 

N65 

N52 N56 N57 

N87 

N62 

N52 

N54 

N85 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N87 = 0 - 

N67 

N57 

N58 

N87 

N89 

44

N98 

N97 

N76 

N75 

0 

VB 

-4,5+0.cos.71,57°+N89 = 

N89 = 4,5 KN 


= 0 

4,5+N910 = 0 

N10 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910 

N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°- 

N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0 

N97 = -14,23 KN 


N10 

N910 

N97 

VB 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

N107 = 0 -N107-N109 = 0 

-0-N109 = 0 

N109 = 0 


N71 

N10 

N76 

N97 

N98 

N10 

N10 

N910 

N71 

45

N78 

N79 

N75 N78 N79 

ΣFV = 0 ΣFH = 0 

-N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°- 

N78.cos71,57°+N79.cos71,57°+N710.cos45° = 0 

-18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,88)-(+18,9).cos45°-0+(- 

14,23).cos71,57°+0=0 

N71 

-13,5+13,5 = 0 17,88-13,36-4,5 = 0 

N75 

N78 

0 = 0 0 = 0 

N79 

BARRA 


AXIAIS (KN) 

ESFORÇO 




N42 0 - 

N32 0 - 








N87 0 - 



N910 0 - 

N107 0 - 

46

Bibliografia 

INTRODUÇÃO À ISOSTÁTICA, autor Eloy Ferraz Machado Junior, 2007 

Apostila “MECÂNICA DOS MATERIAIS”, autor Ricardo Gaspar, 2005 

47

Apostila de Treliças 2

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