Derivadas - UAPI
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Curso de Graduação em Administração a Distância 204 Derivada da função. A derivada de uma função f em relação à variável x do domínio de f é a função f '(x) , dada por f (x x) f (x) f '(x) lim x0 x se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f (x) é derivável em x. Derivada de uma função no ponto x . Se x for um número 0 0 particular no domínio de f , então a derivada da função f no ponto x , denotada por f '(x ) , é dada por 0 0 f (x x) f (x ) 0 0 f '(x ) lim , 0 x0 x se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f (x) é derivável em x 0 , ou seja, existe f '(x 0 ) . Há várias maneiras de representar a derivada, por exemplo, f '(x ), Df (x ) , y (x ) , ( 0 0 0 df dx ) , ( x0 dy dx ) , f '(x) , y' , x0 df dx Exemplo 5.4 Dada f (x) 4x 2 8, calcular a derivada de f . dy , , etc. dx Resolução: Se x é algum número no domínio de f , então pela f (x x) f (x) f ´(x) lim x0 x 4xx lim x0 2 8 4x2 8 x 4 x lim x0 2 2xx (x) 2 84x 2 8 x 4x lim x0 2 8xx 4(x) 2 4x 2 x lim x0 8xx 4(x) 2 x
x8x4x lim x0 x lim (8x 4x) 8x x0 Portanto, a derivada de f (x) 4x 2 8, em relação a x , é8x , ou seja, f ' (x) 8x . Exemplo 5.5 Dada f (x) 5x 2 3, encontrar a derivada de f no ponto x 0 2 , ou seja, f '(2) . Resolução: f 2xf (2) f '(2) lim x0 x 52x lim x0 2 3 5 22 3 x 52 lim x0 2 2 2 x (x) 2 323 x Portanto, 20 20 x 5 (x) lim x0 2 20 x 20 x 5(x) lim x0 2 x x x 20 5x lim x0 lim 20 5x20 x0 Exemplo 5.6 Dada y 3 x 2 x f '(2) 20 . Resolução: Sabemos que dy y lim lim dx x0 x x0 Logo, , encontre dy dx . f (x x) f (x) x . Módulo 2 205
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x8x4x lim<br />
x0 x<br />
lim (8x 4x) 8x<br />
x0<br />
Portanto, a derivada de f (x) 4x 2 8, em relação a x , é8x , ou<br />
seja, f ' (x) 8x .<br />
Exemplo 5.5 Dada f (x) 5x 2 3, encontrar a derivada de f no ponto<br />
x 0 2 , ou seja, f '(2) .<br />
Resolução:<br />
f 2xf (2)<br />
f '(2) lim<br />
x0 x<br />
52x <br />
lim<br />
x0<br />
2 3<br />
<br />
5 22 3<br />
x<br />
52<br />
lim<br />
x0<br />
2 2 2 x (x) 2<br />
323 x<br />
Portanto,<br />
20 20 x 5 (x)<br />
lim<br />
x0<br />
2 20<br />
x<br />
20 x 5(x)<br />
lim<br />
x0<br />
2<br />
x<br />
<br />
x<br />
x 20 5x<br />
lim<br />
x0<br />
lim 20 5x20<br />
x0<br />
Exemplo 5.6 Dada y <br />
3 x<br />
2 x<br />
f '(2) 20 .<br />
Resolução: Sabemos que<br />
dy y<br />
lim lim<br />
dx x0 x x0<br />
Logo,<br />
, encontre dy<br />
dx .<br />
f (x x) f (x)<br />
x<br />
.<br />
Módulo 2<br />
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