Derivadas - UAPI

Curso de Graduação em Administração a Distância
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Exemplo 5.32 Calcular a derivada da função inversa de y f (x) 5x 7.
Resolução: Inicialmente vamos calcular a função inversa de
y f (x) 5x 7 que é x g(y) . Aplicando a regra prática para
encontrarmos a função inversa de uma dada função, estudada na seção
3.7, temos
x 7
y 5x 7 x 5y 7 5y x 7 y
5 ,
ou ainda,
y 7
x g(y) .
5
y 7
Assim, a função inversa de f (x) 5x 7 é x g(y) e
5
f (x)
5 .
Logo,
1 1 1
g (y)
g (y)
f (x)
5 5 .
De fato, calculando a derivada da função g(y) em relação a y ,
temos:
'
y 7
g (y)
5
1
5 .
Portanto, a derivada da função inversa de
y f (x) 5x 7 , g(y)
é dada por:
g (y)
1
5 .
y 7
5
Exemplo 5.33 Determine a derivada da inversa da função y f (x) x 3
para x 0 .
Resolução: Vamos calcular a função inversa de y f (x) x 3
aplicando a regra prática estudada na seção 3.7. Assim, a função
inversa da função y f (x) x 3 3 éx g(y) y , y (0,) e
f ´(x) 3x 2 0 para todo x 0 , logo
g´(y)
1
f ´(x)
1
2
3x
1
3 3 y
2 .