Derivadas - UAPI
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Curso de Graduação em Administração a Distância • algumas regras, aplicando diretamente a regra da cadeia ou derivada de função composta. Leia com atenção dando especial atenção aos exemplos. 222 Aplicações da regra de derivação de função composta Resolução: Aqui, Derivada da função dada por y u n onde u u(x) , é uma função derivável num ponto x e n ° Se y u n então y' n u n1 u' . Exemplo 5.19 Determinar a derivada de 4 y x 3 4x 2 x 2 u x 3 4x 2 x 2 , n 4 e u' 3x 2 8x 1. Assim, y u 4 . Logo, y' 4 u 41 3 u' 4 u 3 u' 4 x 3 4x 2 x 2 . 3x 2 8x 1. Portanto, a derivada de y x 3 4x 2 x 2 4 é a função y' 4 x 3 4x 2 x 2 3 3x 2 8x 1. Exemplo 5.20 Calcular a derivada de y cos 3 x . 3 Resolução: Como y cos 3 x cosx u' sen x . y u 3 . Logo, 2 y' 3 u 31 .u' 3 u 2 u' 3 cosx , temos u cosx , n 3 e sen x3cos 2 x sen x . Portanto, a derivada de y cos 3 x é a função y 3cos 2 x sen x. Exemplo 5.21 Encontrar a derivada de y 1 x 2 . Resolução: Sabemos que
• y' 1 2 onde 1 2 Assim, y u . Logo, y 1 x 2 1 x 2 1 2 , u 1 x 2 , n 1 e u' 0 2x 2x . 2 1 2 u 1 u' 1 1 u 2 Portanto, 2 u' u' 2 u 1 2 y 1 x 2 y u' 2 u x . 2 1 x 2x 2 2 1 x x . 2 1 x Derivada da função dada por y sen u , onde u u(x) é uma função derivável num ponto x . Se y sen u então y' cosu u' . Exemplo 5.22 Determinar a derivada de Resolução: Aqui, y sen x 3 4x 2 3x 7. u x 3 4x 2 3x 7 e u' 3x 2 8x 3. Assim, y sen u . Logo, y' cosu u' cos(x 3 4x 2 3x 7) 3x 2 8x 3. Portanto, y sen x 3 4x 2 3x 7 y' 3x 2 8x 3cos x 3 4x 2 3x 7. Módulo 2 223
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•<br />
y' 1<br />
2<br />
onde<br />
1<br />
2 Assim, y u .<br />
Logo,<br />
y 1 x 2 1 x 2 1<br />
2 ,<br />
u 1 x 2 , n 1<br />
e u' 0 2x 2x .<br />
2<br />
1<br />
2 u<br />
1<br />
u' 1<br />
1<br />
u<br />
2<br />
Portanto,<br />
2 u' u'<br />
2 u<br />
1<br />
2<br />
<br />
y 1 x 2 y <br />
u'<br />
2 u <br />
x<br />
.<br />
2<br />
1 x<br />
2x<br />
<br />
2<br />
2 1 x<br />
x<br />
.<br />
2<br />
1 x<br />
Derivada da função dada por y sen u , onde u u(x) é uma<br />
função derivável num ponto x .<br />
Se y sen u então y' cosu u' .<br />
Exemplo 5.22 Determinar a derivada de<br />
Resolução: Aqui,<br />
y sen x 3 4x 2 3x 7.<br />
u x 3 4x 2 3x 7 e u' 3x 2 8x 3.<br />
Assim, y sen u .<br />
Logo,<br />
y' cosu u' cos(x 3 4x 2 3x 7) 3x 2 8x 3.<br />
Portanto,<br />
<br />
y sen x 3 4x 2 3x 7<br />
y' 3x 2 8x 3cos<br />
x 3 4x 2 3x 7.<br />
Módulo 2<br />
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